Um disco circular de plástico de raio
tem uma carga uniformemente distribuída
na superficie. Calcule o campo elétrico produzido no eixo central do disco à uma distância de 8 mm do centro.
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco circular de plástico com raio
que possui uma carga total
distribuída uniformemente na sua superfície. Queremos calcular o campo elétrico produzido nesse disco, mas especificamente no eixo central, a uma distância de 8 mm do centro do disco.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula para o campo elétrico devido a uma distribuição de carga uniforme em um disco. Vamos precisar entender como integrar o campo gerado por pequenos elementos de carga do disco ao longo do eixo central.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a densidade de carga superficial
. Como a carga está distribuída uniformemente na superfície do disco, ela é dada por:
Essa densidade nos diz quanta carga está presente por unidade de área no disco.
Passo 3
Agora, vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio
e espessura
. A carga nesse anel é:
Esse anel contribui com um pequeno campo elétrico
no ponto a uma distância
ao longo do eixo central.
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse anel no ponto considerado tem apenas componente na direção do eixo, já que as componentes perpendiculares se cancelam devido à simetria. A expressão para
é:
onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Substituindo a expressão de
na fórmula de
:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total
, vamos integrar
de
até
:
Passo 7
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Assim, a integral fica:
Integrando:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 9
Vamos agora substituir os valores numéricos:
-
(onde ) -
-
-
Primeiro, calculamos
:
Passo 10
Agora, substituímos todos os valores na expressão de
:
Calculando cada parte:
Agora, calculamos o termo dentro dos parênteses:
Finalmente, multiplicamos os resultados:
Resposta
O campo elétrico produzido no eixo central do disco a uma distância de 8 mm do centro é aproximadamente
.
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