Um disco circular de plástico de raio tem uma carga uniformemente distribuída na superficie. Calcule o campo elétrico produzido no eixo central do disco à uma distância de 8 mm do centro.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco circular de plástico com raio que possui uma carga total distribuída uniformemente na sua superfície. Queremos calcular o campo elétrico produzido nesse disco, mas especificamente no eixo central, a uma distância de 8 mm do centro do disco.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula para o campo elétrico devido a uma distribuição de carga uniforme em um disco. Vamos precisar entender como integrar o campo gerado por pequenos elementos de carga do disco ao longo do eixo central.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade de carga superficial . Como a carga está distribuída uniformemente na superfície do disco, ela é dada por:
Essa densidade nos diz quanta carga está presente por unidade de área no disco.

Passo 3

Agora, vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio e espessura . A carga nesse anel é:
Esse anel contribui com um pequeno campo elétrico no ponto a uma distância ao longo do eixo central.

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse anel no ponto considerado tem apenas componente na direção do eixo, já que as componentes perpendiculares se cancelam devido à simetria. A expressão para é:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo a expressão de na fórmula de :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total , vamos integrar de até :

Passo 7

Fazendo a substituição , temos ou . Assim, a integral fica:
Integrando:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão de :

Passo 9

Vamos agora substituir os valores numéricos:
  • (onde )
Primeiro, calculamos :

Passo 10

Agora, substituímos todos os valores na expressão de :
Calculando cada parte:
Agora, calculamos o termo dentro dos parênteses:
Finalmente, multiplicamos os resultados:

Resposta

O campo elétrico produzido no eixo central do disco a uma distância de 8 mm do centro é aproximadamente .

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