Um disco circular de plástico de raio R=2,00 cm tem uma carga uniformemente distribuída Q=+ (2,00 times 10^6) e na superficie. Calcule o campo elétrico produzido no eixo central do disco à uma distância de 8 mm do centro.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco circular de plástico com raio que possui uma carga total distribuída uniformemente na sua superfície. Queremos calcular o campo elétrico produzido nesse disco, mas especificamente no eixo central, a uma distância de 8 mm do centro do disco.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula para o campo elétrico devido a uma distribuição de carga uniforme em um disco. Vamos precisar entender como integrar o campo gerado por pequenos elementos de carga do disco ao longo do eixo central.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade de carga superficial sigma = Qpi R^2 . Como a carga está distribuída uniformemente na superfície do disco, ela é dada por:
Essa densidade nos diz quanta carga está presente por unidade de área no disco.

Passo 3

Agora, vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio dQ = sigma cdot 2pi r , dr e espessura . A carga nesse anel é:
Esse anel contribui com um pequeno campo elétrico no ponto a uma distância ao longo do eixo central.

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse anel no ponto considerado tem apenas componente na direção do eixo, já que as componentes perpendiculares se cancelam devido à simetria. A expressão para dE = 14pi varepsilon0 cdot dQ cdot z(z^2 + r^2)^3/2 é:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo a expressão de dE = 14pi varepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r , dr cdot z(z^2 + r^2)^3/2 na fórmula de dE = sigma z2 varepsilon0 cdot r , dr(z^2 + r^2)^3/2 :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total E = integral0^R sigma z2 varepsilon0 cdot r , dr(z^2 + r^2)^3/2 , vamos integrar de até :

Passo 7

Fazendo a substituição E = sigma z4 varepsilon0 integralz^2^z^2 + R^2 duu^3/2 , temos E = sigma z4 varepsilon0 [ -2u^-1/2 ]z^2^z^2 + R^2 = sigma z4 varepsilon0 cdot 2 ( 1raizz^2 - 1raizz^2 + R^2 ) ou E = sigma z2 varepsilon0 ( 1z - 1raizz^2 + R^2 ) = sigma2 varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) . Assim, a integral fica:
Integrando:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos E = Q2 pi R^2 varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) na expressão de :

Passo 9

Vamos agora substituir os valores numéricos:
  • Q = 2,00 times 10^6 cdot 1,602 times 10^-19 = 3,204 times 10^-13 , C (onde )
Primeiro, calculamos :

Passo 10

Agora, substituímos todos os valores na expressão de E = 3,204 times 10^-132 pi (0,02)^2 cdot 8,85 times 10^-12 ( 1 - 0,008raiz(0,008)^2 + (0,02)^2 ) :
pi (0,02)^2 = pi cdot 0,0004 = 0,001257 , m^2
Calculando cada parte:
2 pi (0,02)^2 cdot 8,85 times 10^-12 = 2 cdot 0,001257 cdot 8,85 times 10^-12 = 2,228 times 10^-14
3,204 times 10^-132,228 times 10^-14 approx 14,38
raiz(0,008)^2 + (0,02)^2 = raiz0,000064 + 0,0004 = raiz0,000464 approx 0,02154 , m
Agora, calculamos o termo dentro dos parênteses:
0,0080,02154 approx 0,3715
1 - 0,3715 = 0,6285
E approx 14,38 times 0,6285 approx 9,05 , N/C
Finalmente, multiplicamos os resultados:

Resposta

O campo elétrico produzido no eixo central do disco a uma distância de 8 mm do centro é aproximadamente .

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