Uma esfera isolante maciça possui uma densidade de cargas uniforme p. Uma cavidade esférica é produzida nesta esfera. Mostre que o vetor campo elétrico em do interior de cavidade é dado por
onde a é o vetor que liga o centro da circunferência com o centro da cavidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma esfera isolante com densidade de carga uniforme e uma cavidade esférica dentro dela. Nosso objetivo é encontrar o vetor campo elétrico no interior dessa cavidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente relacionados a campos elétricos em materiais com distribuição de carga uniforme e o princípio da superposição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma densidade de carga uniforme
numa esfera isolante. Isso quer dizer que a carga está distribuída de forma igual em todo o volume da esfera. Quando criamos uma cavidade dentro dessa esfera, estamos basicamente removendo uma parte carregada, o que altera a distribuição de carga ao redor da cavidade.
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico dentro da cavidade, podemos imaginar que a esfera original sem cavidade gera um campo elétrico uniforme. Ao remover a cavidade, é como se estivéssemos adicionando uma esfera com carga negativa (oposta à carga original) no local da cavidade. Isso é uma aplicação do princípio da superposição, onde somamos os campos elétricos de diferentes distribuições de carga.
Passo 4
Vamos definir o vetor
como o vetor que liga o centro da esfera original ao centro da cavidade. O campo elétrico dentro da cavidade será diretamente proporcional a esse vetor
, porque a deslocação do centro da cavidade em relação ao centro da esfera cria uma assimetria na distribuição de carga, resultando em um campo elétrico uniforme na cavidade.
Passo 5
A intensidade do campo elétrico
no interior da cavidade pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é a densidade de carga da esfera. -
é a permissividade do vácuo. -
é o vetor deslocamento entre os centros.
Isso mostra que o campo elétrico é zero somente se
, ou seja, se a cavidade estiver exatamente no centro da esfera.
Resposta
O vetor campo elétrico no interior da cavidade é dado por:
Onde
é o vetor que liga o centro da esfera ao centro da cavidade.
Exercícios relacionados
Um disco fino circular de raio a acha-se carregado uniformemente com uma densidade superficial o. Mostre que o campo elétrico num ponto do eixo do disco situado a uma distância
do seu centro é dado por:
.
Duas cargas positivas estão sobre o eixo dos z com uma delas na origem. Mostre que a variação do campo elétrico a meia distância entre elas é dada por:
onde d é a distância entre as cargas.
Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano
e em repouso para um certo referencial
. A placa inferior (menor valor de
) tem uma densidade de carga
e a superior uma densidade de carga
.
Usando as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos entre as placas para observadores em .
Usando as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos entre as placas para observadores em
Mostre que uma transformação de Lorentz preserva a antissimetria de um tensor, i.e., se
é antissimétrico, então
transformado também será antissimétrico.