Uma esfera isolante maciça possui uma densidade de cargas uniforme p. Uma cavidade esférica é produzida nesta esfera. Mostre que o vetor campo elétrico em do interior de cavidade é dado por onde a é o vetor que liga o centro da circunferência com o centro da cavidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma esfera isolante com densidade de carga uniforme e uma cavidade esférica dentro dela. Nosso objetivo é encontrar o vetor campo elétrico no interior dessa cavidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente relacionados a campos elétricos em materiais com distribuição de carga uniforme e o princípio da superposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma densidade de carga uniforme numa esfera isolante. Isso quer dizer que a carga está distribuída de forma igual em todo o volume da esfera. Quando criamos uma cavidade dentro dessa esfera, estamos basicamente removendo uma parte carregada, o que altera a distribuição de carga ao redor da cavidade.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico dentro da cavidade, podemos imaginar que a esfera original sem cavidade gera um campo elétrico uniforme. Ao remover a cavidade, é como se estivéssemos adicionando uma esfera com carga negativa (oposta à carga original) no local da cavidade. Isso é uma aplicação do princípio da superposição, onde somamos os campos elétricos de diferentes distribuições de carga.

Passo 4

Vamos definir o vetor como o vetor que liga o centro da esfera original ao centro da cavidade. O campo elétrico dentro da cavidade será diretamente proporcional a esse vetor , porque a deslocação do centro da cavidade em relação ao centro da esfera cria uma assimetria na distribuição de carga, resultando em um campo elétrico uniforme na cavidade.

Passo 5

A intensidade do campo elétrico no interior da cavidade pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • é a densidade de carga da esfera.
  • é a permissividade do vácuo.
  • é o vetor deslocamento entre os centros.
Isso mostra que o campo elétrico é zero somente se , ou seja, se a cavidade estiver exatamente no centro da esfera.

Resposta

O vetor campo elétrico no interior da cavidade é dado por:
Onde é o vetor que liga o centro da esfera ao centro da cavidade.

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