Uma haste de metal de massa
e comprimento
é suspensa no ponto central por uma cabo e executa oscilações torcionais. Quando duas massas m são presas aos extremos da haste a frequência angular diminui em 10%. Quanto é
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma haste de metal com massa
e comprimento
que está pendurada no meio e faz oscilações torcionais. Quando a gente coloca duas massas
nas pontas dessa haste, a frequência angular diminui em 10%. A gente precisa descobrir qual é a razão
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência angular
das oscilações torcionais é dada por:
onde
é a constante de torção e
é o momento de inércia da haste.
Passo 3
Sem as massas adicionais, o momento de inércia
da haste pendurada no centro é:
Isso porque a haste está girando em torno de seu centro.
Passo 4
Quando adicionamos as duas massas
nas extremidades, o momento de inércia total
passa a ser:
Aqui, cada massa contribui com
para o momento de inércia.
Passo 5
A frequência angular diminui em 10%, ou seja, a nova frequência
é:
Substituindo na fórmula da frequência:
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando, obtemos:
Passo 7
Substituindo
e
:
Os
cancelam, ficando:
Passo 8
Calculando o lado direito:
Então, temos:
Passo 9
Isolando
:
Para subtrair as frações, colocamos no mesmo denominador:
Então:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por 2 para encontrar
:
Simplificando a fração:
Resposta
A razão entre as massas é
.
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,
nunca será negativa se o sistema começar do repouso com algum valor positivo para .
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