Uma haste de metal de massa e comprimento é suspensa no ponto central por uma cabo e executa oscilações torcionais. Quando duas massas m são presas aos extremos da haste a frequência angular diminui em 10%. Quanto é ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma haste de metal com massa e comprimento que está pendurada no meio e faz oscilações torcionais. Quando a gente coloca duas massas nas pontas dessa haste, a frequência angular diminui em 10%. A gente precisa descobrir qual é a razão .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência angular das oscilações torcionais é dada por:
onde é a constante de torção e é o momento de inércia da haste.

Passo 3

Sem as massas adicionais, o momento de inércia da haste pendurada no centro é:
Isso porque a haste está girando em torno de seu centro.

Passo 4

Quando adicionamos as duas massas nas extremidades, o momento de inércia total passa a ser:
Aqui, cada massa contribui com para o momento de inércia.

Passo 5

A frequência angular diminui em 10%, ou seja, a nova frequência é:
Substituindo na fórmula da frequência:

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando, obtemos:

Passo 7

Substituindo e :
Os cancelam, ficando:

Passo 8

Calculando o lado direito:
Então, temos:

Passo 9

Isolando :
Para subtrair as frações, colocamos no mesmo denominador:
Então:

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por 2 para encontrar :
Simplificando a fração:

Resposta

A razão entre as massas é .

Exercícios relacionados

Um bloco de massa m está em repouso sobre um outro bloco de massa M. O coeficiente de atrito estático mutuo é . O bloco inferior está sobre uma mesa sem atrito e é conectado à uma mola com constante de força k. A mola é puxada por uma quantidade A e solta. Em quais momentos da oscilação a massa superior está mais vulnerável a deslizar para fora? Qual é a condição que deve possuir de modo a garantir que isso não ocorra?
Um disco horizontal de raio é suspenso através de seu centro por uma mola com constante de força k e constante de torsão . Qual é a razão de suas frequências linear e angular para pequenas oscilações?
Um disco fino de massa e raio é equilibrado em uma mesa através de um ponto de apoio em seu aro. Uma pequena massa m é colada na circunferência logo acima do ponto de contato com a mesa. Quando o disco recebe um pequeno deslocamento angular e liberado, ele oscila para frente e para trás no plano vertical sem escorregar. Mostre que o período das oscilações é . Aqui ignoramos o momento de inércia de m. Por que isso?
Mostre que a solução para oscilações amortecidas criticas
,
nunca será negativa se o sistema começar do repouso com algum valor positivo para .