Uma haste de metal de massa M e comprimento L é suspensa no ponto central por uma cabo e executa oscilações torcionais. Quando duas massas m são presas aos extremos da haste a frequência angular diminui em 10%. Quanto é mM ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma haste de metal com massa M e comprimento L que está pendurada no meio e faz oscilações torcionais. Quando a gente coloca duas massas m nas pontas dessa haste, a frequência angular diminui em 10%. A gente precisa descobrir qual é a razão mM.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência angular omega das oscilações torcionais é dada por:
omega = raizkI
onde k é a constante de torção e I é o momento de inércia da haste.

Passo 3

Sem as massas adicionais, o momento de inércia I da haste pendurada no centro é:
I = 112 M L^2
Isso porque a haste está girando em torno de seu centro.

Passo 4

Quando adicionamos as duas massas m nas extremidades, o momento de inércia total I' passa a ser:
I' = I + 2 times m (L2)^2 = 112 M L^2 + 12 m L^2
Aqui, cada massa contribui com m (L2)^2 para o momento de inércia.

Passo 5

A frequência angular diminui em 10%, ou seja, a nova frequência omega' é:
omega' = 0,9 omega
Substituindo na fórmula da frequência:
0,9 raizkI = raizkI'

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
0,81 kI = kI'
Simplificando, obtemos:
I' = I0,81 = 10081 I

Passo 7

Substituindo I e I':
112 M L^2 + 12 m L^2 = 10081 times 112 M L^2
Os L^2 cancelam, ficando:
112 M + 12 m = 10081 times 112 M

Passo 8

Calculando o lado direito:
10081 times 112 M = 100972 M = 25243 M
Então, temos:
112 M + 12 m = 25243 M

Passo 9

Isolando 12 m:
12 m = 25243 M - 112 M
Para subtrair as frações, colocamos no mesmo denominador:
112 M = 20.25243 M
Então:
12 m = 25 - 20.25243 M = 4.75243 M

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por 2 para encontrar m:
m = 2 times 4.75243 M = 9.5243 M
Simplificando a fração:
m = 19486 M

Resposta

A razão entre as massas é mM = 19486 approx 0,0391.

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