Uma esfera condutora de raio a isolada está situada num campo elétrico inicialmente uniforme,
. Determine o potencial elétrico e o campo elétrico em todos os pontos exteriores à esfera. Determine também a densidade de carga induzida na superfície da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora de raio
que está isolada e colocada num campo elétrico uniforme inicial,
. Nosso objetivo é descobrir três coisas:
- O potencial elétrico em todos os pontos fora da esfera.
- O campo elétrico em todos esses pontos.
- A densidade de carga induzida na superfície da esfera.
Vamos usar conceitos de eletrostática, como o potencial elétrico e a indução de carga em condutores, pra resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático tem o potencial constante em toda a sua superfície. Quando colocamos essa esfera num campo elétrico externo uniforme
, as cargas livres na esfera se rearranjam para neutralizar o campo dentro do material condutor. Isso cria um campo elétrico fora da esfera que é a soma do campo externo e do campo devido às cargas induzidas.
Passo 3
Para encontrar o potencial elétrico
fora da esfera, vamos usar a superposição dos potenciais. O potencial devido ao campo externo uniforme
em coordenadas cartesianas é
. Além disso, as cargas induzidas na esfera criam um potencial adicional que tem a forma
, onde
é o momento de dipolo induzido,
é o ângulo em relação à direção do campo externo, e
é a distância do centro da esfera.
Passo 4
O potencial total fora da esfera é a soma desses dois potenciais:
Como a esfera está isolada e inicialmente neutra, o momento de dipolo induzido
pode ser relacionado ao campo externo e ao raio da esfera. Calculando e igualando o potencial na superfície da esfera (
) ao potencial constante
, podemos resolver para
.
Passo 5
Após resolver para
, substituímos de volta na expressão do potencial total:
Isso nos dá o potencial elétrico em todos os pontos exteriores à esfera.
Passo 6
Agora, para encontrar o campo elétrico
, vamos usar a relação entre o campo e o potencial:
Calculando o gradiente do potencial que encontramos, obtemos:
Essa é a expressão para o campo elétrico fora da esfera.
Passo 7
Por fim, para determinar a densidade de carga induzida
na superfície da esfera, usamos a relação entre o campo elétrico e a densidade de carga em condutores:
Onde
é a componente perpendicular do campo elétrico na superfície. Substituindo os valores, encontramos:
Resposta
O potencial elétrico em todos os pontos exteriores à esfera é dado por:
O campo elétrico nesses pontos é:
E a densidade de carga induzida na superfície da esfera é:
Exercícios relacionados
Resolva as integrais abaixo
Duas cascas condutoras esféricas de raios
e
estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais
, respectivamente. Se
, determine o potencial entre as cascas. Utilize a equação de Laplace.
- Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso, com aceleração angular constante, até alcançar a rotação de
(rad/s). Depois de completar 120% (rad), a sua velocidade angular é de ( ).
(a) Calcule a aceleração angular.
(b) Calcule o tempo necessário para completar.
© Calcule o tempo necessário para alcançar a rotação de.
(d) Calcule o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de.
Se a posição de uma partícula é dada por
(onde
é dado em segundos e
em metros). (a) Qual é a velocidade em
? (b) A velocidade é zero em algum instante? Em caso positivo, calcule o(os) tempo(os) em que a velocidade é zero. © Obtenha a expressão da aceleração. A aceleração é constante?
(Em todas as respostas use dois algarismos significativos).
(Em todas as respostas use dois algarismos significativos).