Uma esfera condutora de raio a isolada está situada num campo elétrico inicialmente uniforme, E0. Determine o potencial elétrico e o campo elétrico em todos os pontos exteriores à esfera. Determine também a densidade de carga induzida na superfície da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora de raio que está isolada e colocada num campo elétrico uniforme inicial, . Nosso objetivo é descobrir três coisas:
  1. O potencial elétrico em todos os pontos fora da esfera.
  2. O campo elétrico em todos esses pontos.
  3. A densidade de carga induzida na superfície da esfera.
Vamos usar conceitos de eletrostática, como o potencial elétrico e a indução de carga em condutores, pra resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático tem o potencial constante em toda a sua superfície. Quando colocamos essa esfera num campo elétrico externo uniforme , as cargas livres na esfera se rearranjam para neutralizar o campo dentro do material condutor. Isso cria um campo elétrico fora da esfera que é a soma do campo externo e do campo devido às cargas induzidas.

Passo 3

Para encontrar o potencial elétrico fora da esfera, vamos usar a superposição dos potenciais. O potencial devido ao campo externo uniforme em coordenadas cartesianas é . Além disso, as cargas induzidas na esfera criam um potencial adicional que tem a forma , onde é o momento de dipolo induzido, é o ângulo em relação à direção do campo externo, e é a distância do centro da esfera.

Passo 4

O potencial total fora da esfera é a soma desses dois potenciais:
V(r, theta) = -E0 r costheta + p costheta4piepsilon0 r^2
Como a esfera está isolada e inicialmente neutra, o momento de dipolo induzido pode ser relacionado ao campo externo e ao raio da esfera. Calculando e igualando o potencial na superfície da esfera ( ) ao potencial constante , podemos resolver para .

Passo 5

Após resolver para V(r, theta) = -E0 r costheta + E0 a^3 costhetar^2 , substituímos de volta na expressão do potencial total:
Isso nos dá o potencial elétrico em todos os pontos exteriores à esfera.

Passo 6

Agora, para encontrar o campo elétrico E = -nabla V , vamos usar a relação entre o campo e o potencial:
E(r, theta) = E0 costheta ( 3a^34piepsilon0 r^4 ) r
Calculando o gradiente do potencial que encontramos, obtemos:
Essa é a expressão para o campo elétrico fora da esfera.

Passo 7

Por fim, para determinar a densidade de carga induzida sigma = epsilon0 Eperp na superfície da esfera, usamos a relação entre o campo elétrico e a densidade de carga em condutores:
sigma(theta) = -3epsilon0 E0 costheta
Onde é a componente perpendicular do campo elétrico na superfície. Substituindo os valores, encontramos:

Resposta

O potencial elétrico em todos os pontos exteriores à esfera é dado por:
V(r, theta) = -E0 r costheta + E0 a^3 costhetar^2
O campo elétrico nesses pontos é:
E(r, theta) = E0 costheta ( 3a^34piepsilon0 r^4 ) r
E a densidade de carga induzida na superfície da esfera é:
sigma(theta) = -3epsilon0 E0 costheta

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