Resolva as integrais abaixo
integral2^6(3 x^2-2 x-1) de

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas integrais! O enunciado tem quatro integrais envolvendo a função delta de Dirac. Para resolver, a gente vai precisar entender como a delta de Dirac funciona e aplicar algumas técnicas de cálculo básico e, no caso do J, um pouco de cálculo vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeira integral: 3(3)^2 - 2(3) - 1 = 27 - 6 - 1 = 20
A função delta de Dirac, , “puxa” o valor da função onde . Então, essa integral vai pegar o valor da função em .
Vamos calcular:
Então, a primeira integral vale 20.

Passo 3

Segunda integral: nabla cdot rr^2 = 4pi de
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial. A expressão J = integralV e^-r cdot 4pi de é a divergência de um campo vetorial. Sabemos que:
Portanto,

Passo 4

Terceira integral: ln(-2 + 3) = ln(1) = 0
Usando a propriedade da delta de Dirac, puxa o valor da função em .
Vamos calcular:
Então, essa integral vale 0.

Passo 5

Quarta integral: de
Primeiro, vamos resolver integral-1^1 9x^2 cdot 13 de. Sabemos que .
Aqui, e , então:
Agora, a integral fica:

Resposta

As integrais resolvidas são:
integral2^6(3 x^2-2 x-1) de
J=integralV e^-r(nabla cdot rr^2) d tau = 4pi
integral-infty^infty ln (x+3) de
integral-1^1 9 x^2 de

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