Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso, com aceleração angular constante, até alcançar a rotação de 20 pi (rad/s). Depois de completar 120 pi (rad), a sua velocidade angular é de 30 pi ( rad / s ).
© Calcule o tempo necessário para alcançar a rotação de 20 pi rad / s).

Passo 1

Ok, vamos resumir o que temos aqui! Temos um disco que começa parado e gira com uma aceleração angular constante até atingir uma velocidade de . Depois de girar um total de , a velocidade aumenta para . Nosso objetivo é descobrir quanto tempo o disco leva para alcançar a rotação de . Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de cinemática rotacional, que envolvem conceitos como aceleração angular e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos precisar. Na cinemática rotacional, temos equações semelhantes às da cinemática linear, mas adaptadas para movimentos de rotação. As duas principais que vamos usar são:
  1. Equação da velocidade angular:
    omega = omega0 + alpha t
    Onde:
    • theta = omega0 t + 12 alpha t^2 é a velocidade angular final,
    • é a velocidade angular inicial,
    • é a aceleração angular,
    • é o tempo.
  2. Equação da posição angular:
    Onde:
    • é a posição angular (em radianos).

Passo 3

Como o disco parte do repouso, sabemos que a velocidade angular inicial omega = omega0 + alpha t . Nosso primeiro objetivo é encontrar a aceleração angular 30pi = alpha t . Para isso, podemos usar as informações que após girar , a velocidade aumenta para .
Usando a equação da velocidade angular:
Como ,
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação da posição angular para relacionar theta = 12 alpha t^2 e 120pi = 12 alpha t^2 :
120pi = 12 (30pit) t^2
Sabemos que 120pi = 12 times 30pi times t , então:
120pi = 15pi t
Substituindo t = 120pi15pi = 8 , segundos da equação anterior ( ):
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora que temos alpha = 30pit = 30pi8 = 15pi4 , rad/s^2 , podemos encontrar a aceleração angular :

Passo 6

Finalmente, vamos usar a equação da velocidade angular para encontrar o tempo necessário para atingir omega = omega0 + alpha t :
20pi = 0 + 15pi4 t
t = 20pi15pi4 = 20 times 415 = 8015 = 163 approx 5,33 , segundos

Resposta

O tempo necessário para o disco alcançar a rotação de é aproximadamente .

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