Um disco horizontal de raio
é suspenso através de seu centro por uma mola com constante de força k e constante de torsão
. Qual é a razão
de suas frequências linear e angular para pequenas oscilações?
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um disco horizontal de raio
suspenso pelo seu centro por uma mola com constante de força
e uma constante de torsão
. Queremos encontrar a razão entre as frequências linear (
) e angular (
) para pequenas oscilações desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender as oscilações harmônicas tanto lineares quanto rotacionais, além de conhecer o momento de inércia do disco.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as oscilações lineares do disco. Quando a mola estica ou comprime, o disco oscila para cima e para baixo. A frequência angular dessas oscilações é dada por:
onde:
-
é a constante da mola, -
é a massa do disco.
Passo 3
Agora, vamos considerar as oscilações angulares, ou seja, a rotação do disco em torno de seu eixo central devido à torção. A frequência angular dessas oscilações é dada por:
onde:
-
é a constante de torsão, -
é o momento de inércia do disco.
Passo 4
Precisamos calcular o momento de inércia
do disco. Para um disco sólido de massa
e raio
, o momento de inércia em torno de seu centro é:
Passo 5
Substituindo o valor de
na expressão da frequência angular
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a razão entre as frequências linear e angular:
Simplificando a expressão:
Resposta
A razão entre as frequências linear e angular é: