Um disco horizontal de raio é suspenso através de seu centro por uma mola com constante de força k e constante de torsão . Qual é a razão de suas frequências linear e angular para pequenas oscilações?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um disco horizontal de raio suspenso pelo seu centro por uma mola com constante de força e uma constante de torsão . Queremos encontrar a razão entre as frequências linear ( ) e angular ( ) para pequenas oscilações desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender as oscilações harmônicas tanto lineares quanto rotacionais, além de conhecer o momento de inércia do disco.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as oscilações lineares do disco. Quando a mola estica ou comprime, o disco oscila para cima e para baixo. A frequência angular dessas oscilações é dada por:
onde:
  • é a constante da mola,
  • é a massa do disco.

Passo 3

Agora, vamos considerar as oscilações angulares, ou seja, a rotação do disco em torno de seu eixo central devido à torção. A frequência angular dessas oscilações é dada por:
onde:
  • é a constante de torsão,
  • é o momento de inércia do disco.

Passo 4

Precisamos calcular o momento de inércia do disco. Para um disco sólido de massa e raio , o momento de inércia em torno de seu centro é:

Passo 5

Substituindo o valor de na expressão da frequência angular :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a razão entre as frequências linear e angular:
Simplificando a expressão:

Resposta

A razão entre as frequências linear e angular é:

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