Escreva a equação de movimento para uma massa
suspensa por uma mola de constante de força
. Mostre que
, onde
, obedece a equação para um oscilador com frequência angular
na ausência de gravidade. Interprete a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a equação de movimento para uma massa
pendurada em uma mola com constante de força
. Depois, temos que mostrar que, se definirmos
, onde
, essa nova posição
satisfaz a equação de um oscilador com frequência angular
na ausência da gravidade. Basicamente, vamos trabalhar com movimentos oscilatórios e a interação entre a mola e a força da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa vezes a aceleração dele:
. No nosso caso, a força resultante é a força da mola menos o peso da massa.
Passo 3
A força da mola, segundo a Lei de Hooke, é
, onde
é o deslocamento da posição de equilíbrio. O negativo indica que a força sempre puxa de volta para a posição de equilíbrio.
Passo 4
O peso da massa é
, atuando para baixo. Então, a força resultante fica:
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton:
Passo 6
Vamos rearranjar essa equação para isolar os termos relacionados a
:
Passo 7
Agora, vamos definir
, onde
é a posição de equilíbrio devido à gravidade. Sabemos que em equilíbrio, a força da mola iguala o peso:
Passo 8
Substituindo
na equação de movimento:
Como
é constante, suas derivadas são zero:
Passo 9
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 10
Agora,
cancela dos dois lados:
Isso é a equação de um oscilador harmônico simples, onde a frequência angular é
.
Resposta
A equação de movimento para a massa
suspensa pela mola é:
Definindo
, a equação se torna:
onde
. Isso mostra que, ao considerar a posição relativa à posição de equilíbrio causada pela gravidade, o sistema se comporta como um oscilador harmônico simples com frequência angular
na ausência da força gravitacional.
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