Escreva a equação de movimento para uma massa suspensa por uma mola de constante de força . Mostre que , onde , obedece a equação para um oscilador com frequência angular na ausência de gravidade. Interprete a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a equação de movimento para uma massa pendurada em uma mola com constante de força . Depois, temos que mostrar que, se definirmos , onde , essa nova posição satisfaz a equação de um oscilador com frequência angular na ausência da gravidade. Basicamente, vamos trabalhar com movimentos oscilatórios e a interação entre a mola e a força da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa vezes a aceleração dele: . No nosso caso, a força resultante é a força da mola menos o peso da massa.

Passo 3

A força da mola, segundo a Lei de Hooke, é , onde é o deslocamento da posição de equilíbrio. O negativo indica que a força sempre puxa de volta para a posição de equilíbrio.

Passo 4

O peso da massa é , atuando para baixo. Então, a força resultante fica:

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton:

Passo 6

Vamos rearranjar essa equação para isolar os termos relacionados a :

Passo 7

Agora, vamos definir , onde é a posição de equilíbrio devido à gravidade. Sabemos que em equilíbrio, a força da mola iguala o peso:

Passo 8

Substituindo na equação de movimento:
Como é constante, suas derivadas são zero:

Passo 9

Substituindo :
Simplificando:

Passo 10

Agora, cancela dos dois lados:
Isso é a equação de um oscilador harmônico simples, onde a frequência angular é .

Resposta

A equação de movimento para a massa suspensa pela mola é:
Definindo , a equação se torna:
onde . Isso mostra que, ao considerar a posição relativa à posição de equilíbrio causada pela gravidade, o sistema se comporta como um oscilador harmônico simples com frequência angular na ausência da força gravitacional.

Exercícios relacionados

© Uma carga de -300e está distribuída uniformemente na superfície de uma esfera de de raio. Qual é a densidade superficial de carga da
superfície?
Uma massa m oscila à quando presa à uma mola com constante de força . Adicionando-se à massa muda-se a frequência para . Encontre m e k.
Um disco horizontal de raio é suspenso através de seu centro por uma mola com constante de força k e constante de torsão . Qual é a razão de suas frequências linear e angular para pequenas oscilações?
Um bloco de massa m está em repouso sobre um outro bloco de massa M. O coeficiente de atrito estático mutuo é . O bloco inferior está sobre uma mesa sem atrito e é conectado à uma mola com constante de força k. A mola é puxada por uma quantidade A e solta. Em quais momentos da oscilação a massa superior está mais vulnerável a deslizar para fora? Qual é a condição que deve possuir de modo a garantir que isso não ocorra?