Escreva a equação de movimento para uma massa m suspensa por uma mola de constante de força k. Mostre que tildex(t)=(x(t)-x0), onde k x0=m g, obedece a equação para um oscilador com frequência angular omega0=raizkm na ausência de gravidade. Interprete a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a equação de movimento para uma massa m pendurada em uma mola com constante de força k. Depois, temos que mostrar que, se definirmos tildex(t) = x(t) - x0, onde k x0 = m g, essa nova posição tildex(t) satisfaz a equação de um oscilador com frequência angular omega0 = raizkm na ausência da gravidade. Basicamente, vamos trabalhar com movimentos oscilatórios e a interação entre a mola e a força da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa vezes a aceleração dele: F = m a. No nosso caso, a força resultante é a força da mola menos o peso da massa.

Passo 3

A força da mola, segundo a Lei de Hooke, é Fmola = -k x, onde x é o deslocamento da posição de equilíbrio. O negativo indica que a força sempre puxa de volta para a posição de equilíbrio.

Passo 4

O peso da massa é Fpeso = m g, atuando para baixo. Então, a força resultante fica:
F = -k x - m g

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton:
m d^2 xdt^2 = -k x - m g

Passo 6

Vamos rearranjar essa equação para isolar os termos relacionados a x:
d^2 xdt^2 + km x = -g

Passo 7

Agora, vamos definir tildex(t) = x(t) - x0, onde x0 é a posição de equilíbrio devido à gravidade. Sabemos que em equilíbrio, a força da mola iguala o peso:
k x0 = m g Rightarrow x0 = m gk

Passo 8

Substituindo x(t) = tildex(t) + x0 na equação de movimento:
d^2 (tildex + x0)dt^2 + km (tildex + x0) = -g
Como x0 é constante, suas derivadas são zero:
d^2 tildexdt^2 + km tildex + km x0 = -g

Passo 9

Substituindo x0 = m gk:
d^2 tildexdt^2 + km tildex + km cdot m gk = -g
Simplificando:
d^2 tildexdt^2 + km tildex + g = -g

Passo 10

Agora, g cancela dos dois lados:
d^2 tildexdt^2 + km tildex = 0
Isso é a equação de um oscilador harmônico simples, onde a frequência angular é omega0 = raizkm.

Resposta

A equação de movimento para a massa m suspensa pela mola é:
d^2 xdt^2 + km x = -g
Definindo tildex(t) = x(t) - m gk, a equação se torna:
d^2 tildexdt^2 + omega0^2 tildex = 0
onde omega0 = raizkm. Isso mostra que, ao considerar a posição relativa à posição de equilíbrio causada pela gravidade, o sistema se comporta como um oscilador harmônico simples com frequência angular omega0 na ausência da força gravitacional.

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