Um disco de massa 3 kg e raio 0,2 m é submetido a um torque de 2,4 N cdot m.
Quanto tempo será necessário para que o disco atinja uma velocidade angular de 12 rad/s, partindo do repouso?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco com massa de 3 kg e raio de 0,2 metros que está sendo girado por um torque de 2,4 N·m. Queremos descobrir quanto tempo esse disco leva para acelerar de uma velocidade angular inicial de 0 rad/s até 12 rad/s. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia, torque e aceleração angular.

Passo 2

O próximo passo é calcular o momento de inércia do disco. O momento de inércia ( I = 12 m r^2 ) é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Para um disco sólido, a fórmula é:
I = 12 times 3 , kg times (0,2 , m)^2 = 12 times 3 times 0,04 = 0,06 , kg·m^2
Onde:
  • é a massa do disco (3 kg)
  • é o raio do disco (0,2 m)
Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos relacionar o torque ( tau = I alpha ) aplicado com a aceleração angular ( alpha = tauI ). A relação entre eles é dada pela fórmula:
alpha = 2,4 , N·m0,06 , kg·m^2 = 40 , rad/s^2
Queremos encontrar , então vamos reescrever a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos a aceleração angular, podemos usar a equação da cinemática rotacional para encontrar o tempo necessário para atingir a velocidade angular desejada. A fórmula é:
omega = omega0 + alpha t
Onde:
  • t = omega - omega0alpha é a velocidade angular final (12 rad/s)
  • t = 12 , rad/s - 040 , rad/s^2 = 0,3 , segundos é a velocidade angular inicial (0 rad/s, pois parte do repouso)
  • é o tempo que queremos encontrar
Rearranjando para encontrar :
Substituindo os valores:

Resposta

Será necessário 0,3 segundos para que o disco atinja uma velocidade angular de 12 rad/s partindo do repouso.

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