Um disco de momento de inércia I=0.2 kg m^2 está inicialmente em repouso. Um torque variável tau(t)=2 t Nm é aplicado durante 3 s . Calcule a velocidade angular final do disco.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um disco que está inicialmente parado, com um momento de inércia de . Um torque que varia com o tempo, dado por , é aplicado por 3 segundos. Nosso objetivo é calcular a velocidade angular final do disco após esses 3 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre torque, momento de inércia, aceleração angular e como relacioná-los para encontrar a velocidade angular final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a relação fundamental entre torque ( tau = I cdot alpha ), momento de inércia ( ) e aceleração angular ( ). A fórmula é:
Isso significa que o torque aplicado a um objeto gera uma aceleração angular proporcional ao momento de inércia.

Passo 3

Como o torque está variando com o tempo ( alpha(t) = tau(t)I = 2t0.2 = 10t , rad/s^2 ), precisamos encontrar a aceleração angular em função do tempo usando a fórmula acima:

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade angular final ( omegaf = omega0 + integral0^t alpha(t') , dt' ), devemos integrar a aceleração angular ao longo do tempo. A fórmula para a velocidade angular final é:
omegaf = integral0^3 10t , dt
Como o disco está inicialmente em repouso, . Então:

Passo 5

Vamos realizar a integração:
omegaf = 10 integral0^3 t , dt = 10 [ t^22 ]0^3 = 10 ( 92 - 0 ) = 10 cdot 4.5 = 45 , rad/s

Resposta

A velocidade angular final do disco após 3 segundos é de .

Exercícios relacionados