um disco de massa repousa sobre o topo de uma mesa horizontal sem atrito a uma distância de um buraco situado no centro da mesa. Um fio ligado ao disco passa através do buraco e tem um cilindro ligado em sua outra extremidade. disco descreve um movimento circular uniforme com raio e velocidade . Qual deve ser o valor de para que o cilindro permaneça imóvel quando libertado? (veja figura ao lado). Considere .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado fala sobre um disco que está fazendo um movimento circular uniforme sobre uma mesa sem atrito, ligado a um cilindro por um fio. A gente precisa descobrir qual a velocidade do disco para que, quando o cilindro for liberado, ele não se mova. Aqui, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme e força centrípeta para resolver. Vamos precisar das massas do disco e do cilindro, além da distância do disco ao buraco no centro da mesa.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI):
  • Raio:
  • Massa do disco:
  • Massa do cilindro:

Passo 3

O disco está fazendo um movimento circular uniforme, então ele precisa de uma força centrípeta para manter esse movimento. A força centrípeta ( ) é dada por:
Onde:
  • é a massa do disco
  • é a velocidade do disco
  • é o raio da trajetória

Passo 4

Essa força centrípeta está sendo fornecida pela tensão ( ) no fio, que está sustentando o cilindro. Quando o cilindro está prestes a ser liberado e permanece imóvel, a tensão no fio deve equilibrar o peso do cilindro. Então, temos:
Onde:
  • é a massa do cilindro
  • é a aceleração da gravidade ( )

Passo 5

Igualando as duas expressões para a tensão, já que , temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade .

Passo 6

Isolando , temos:
Então,

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores na equação:

Passo 8

Calculando o valor dentro da raiz:

Resposta

A velocidade deve ser aproximadamente para que o cilindro permaneça imóvel quando liberado.

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