um disco de massa m repousa sobre o topo de uma mesa horizontal sem atrito a uma distância r de um buraco situado no centro da mesa. Um fio ligado ao disco passa através do buraco e tem um cilindro ligado em sua outra extremidade. O disco descreve um movimento circular uniforme com raio r e velocidade v. Qual deve ser o valor de v para que o cilindro permaneça imóvel quando libertado? (veja figura ao lado). Considere r=30 cm, m=800,0 g, m=200,0 g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado fala sobre um disco que está fazendo um movimento circular uniforme sobre uma mesa sem atrito, ligado a um cilindro por um fio. A gente precisa descobrir qual a velocidade v do disco para que, quando o cilindro for liberado, ele não se mova. Aqui, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme e força centrípeta para resolver. Vamos precisar das massas do disco e do cilindro, além da distância r do disco ao buraco no centro da mesa.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI):
  • Raio: r = 30, cm = 0,3, m
  • Massa do disco: m = 800,0, g = 0,8, kg
  • Massa do cilindro: M = 200,0, g = 0,2, kg

Passo 3

O disco está fazendo um movimento circular uniforme, então ele precisa de uma força centrípeta para manter esse movimento. A força centrípeta ( Fc) é dada por:
Fc = m v^2r
Onde:
  • m é a massa do disco
  • v é a velocidade do disco
  • r é o raio da trajetória

Passo 4

Essa força centrípeta está sendo fornecida pela tensão ( T) no fio, que está sustentando o cilindro. Quando o cilindro está prestes a ser liberado e permanece imóvel, a tensão no fio deve equilibrar o peso do cilindro. Então, temos:
T = M g
Onde:
  • M é a massa do cilindro
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81, m/s^2)

Passo 5

Igualando as duas expressões para a tensão, já que Fc = T, temos:
m v^2r = M g
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade v.

Passo 6

Isolando v, temos:
v^2 = M g rm
Então,
v = raizM g rm

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores na equação:
v = raiz0,2, kg times 9,81, m/s^2 times 0,3, m0,8, kg

Passo 8

Calculando o valor dentro da raiz:
v = raiz0,2 times 9,81 times 0,30,8 = raiz0,58860,8 = raiz0,73575 approx 0,857, m/s

Resposta

A velocidade v deve ser aproximadamente 0,857, m/s para que o cilindro permaneça imóvel quando liberado.

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