No problema anterior, utilizando
e
, determine a distância a partir do apoio A em que ocorre a máxima flecha da viga, bem como o valor da flecha máxima. Utilize algum software para resolver as raízes do polinômio (Ex:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar onde a viga sofre a maior flexão (ou flecha) e qual é o valor dessa flecha máxima. Estamos trabalhando com conceitos de mecânica das estruturas, especificamente flexão de vigas. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de flecha em vigas, além de resolver uma equação polinomial para achar o ponto onde a flecha é máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Carga distribuída: $ w_o = 8 , kN/m $
- Comprimento da viga: $ L = 5 , m $
- Módulo de elasticidade: $ E = 200 , GPa $
- Momento de inércia: $ I = 28000 , cm^4 $
Vamos precisar converter algumas unidades para manter a consistência. Como $ E $ está em GPa e $ I $ em cm⁴, vamos converter $ I $ para m⁴:
Passo 3
A flecha $ v(x) $ de uma viga simplesmente apoiada com carga distribuída $ w_o $ pode ser dada pela equação:
Queremos encontrar onde essa flecha é máxima, ou seja, o valor de $ x $ que maximiza $ v(x) $.
Passo 4
Para encontrar o ponto de máxima flecha, precisamos derivar $ v(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero:
Vamos calcular a derivada:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Então, temos a equação polinomial:
Passo 5
Agora vamos substituir os valores que temos:
Calculando:
Podemos fatorar $ x $:
Desconsideramos $ x = 0 $ porque estamos interessados no interior da viga. Então, resolvemos:
Dividindo todos os termos por 5:
Passo 6
Vamos usar um software para resolver essa equação cúbica $ x^3 - 8x^2 + 50 = 0 $. Utilizando uma calculadora online de equações polinomiais, encontramos as raízes reais dessa equação.
Após resolver, obtemos:
Passo 7
Agora que temos $ x \approx 2,53 , m $, vamos calcular a flecha máxima substituindo esse valor na equação de $ v(x) $:
Calculando passo a passo:
Resposta
A máxima flecha ocorre a aproximadamente 2,53 metros a partir do apoio A, e o valor da flecha máxima é de cerca de 0,294 mm.