Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Achar as dimensões de modo que o perímetro seja 3,2 m e a área a maior possível.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma janela que tem um formato bem específico: um retângulo embaixo e um semicírculo em cima. O exercício quer que a gente ache as dimensões desse formato, de modo que o perímetro total da janela seja 3,2 m e, ao mesmo tempo, a área seja a maior possível. O conteúdo que estamos lidando aqui é de cálculo de área e perímetro, e também vamos precisar usar um pouco de cálculo para maximizar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar nosso trabalho.
  • Vamos chamar a largura do retângulo de w.
  • A altura do retângulo vamos chamar de h.
  • Como em cima do retângulo temos um semicírculo, a largura dele também será w.
Agora, precisamos calcular o perímetro total da janela. O perímetro do retângulo é dado por 2h + w, e o perímetro do semicírculo, que é metade da circunferência (já que é um semicírculo), é 12 cdot 2pi cdot w2 = pi w2. Assim, o perímetro total P da janela pode ser escrito como:
P = 2h + w + pi w2
Sabemos que esse perímetro é igual a 3,2 m, então temos:
2h + w + pi w2 = 3,2

Passo 3

Agora, vamos expressar a altura h em função da largura w. Reorganizando a equação que encontramos acima, temos:
2h = 3,2 - w - pi w2
Dividindo tudo por 2 para isolar h:
h = 3,2 - w - pi w22
Agora temos h em termos de w. O próximo passo é calcular a área da janela.
A área A total da janela é a soma da área do retângulo e da área do semicírculo. A área do retângulo é Aretângulo = w cdot hâ, e a área do semicírculo é Asemicírculo = 12 cdot pi cdot (w2)^2 = pi w^28í. Portanto, a área total da janela se expressa por:
A = w cdot h + pi w^28
Substituindo h na equação, ficamos com:
A = w cdot (3,2 - w - pi w22) + pi w^28
Agora, precisamos simplificar isso tudo.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
A = w (3,2 - w - pi w2)2 + pi w^28
A = 3,2w - w^2 - pi w^222 + pi w^28
Para simplificar ainda mais, precisamos achar um denominador comum entre as frações. O denominador comum aqui será 8. Então, vamos multiplicar a primeira parte por 4:
A = 4(3,2w - w^2 - pi w^22)8 + pi w^28
A = 12,8w - 4w^2 - 2pi w^2 + pi w^28
A = 12,8w - 4w^2 - pi w^28
Agora que temos a área em função de w, precisamos maximizar essa função. Para isso, vamos calcular a derivada da função A em relação a w e igualá-la a zero.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de A:
dAdw = 12,8 - (8 + pi)w8
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:
12,8 - (8 + pi)w = 0
Resolvendo para w:
(8 + pi)w = 12,8
w = 12,88 + pi
Agora que temos w, vamos calcular h usando a relação que encontramos antes:
h = 3,2 - w - pi w22

Resposta

As dimensões da janela que maximizam a área enquanto mantêm um perímetro de 3,2 m são w = 12,88 + pi m e, utilizando esse valor em h, a altura h será dada pela equação que já encontramos.

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