Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Achar as dimensões de modo que o perímetro seja a área a maior possível.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma janela que tem um formato bem específico: um retângulo embaixo e um semicírculo em cima. O exercício quer que a gente ache as dimensões desse formato, de modo que o perímetro total da janela seja e, ao mesmo tempo, a área seja a maior possível. O conteúdo que estamos lidando aqui é de cálculo de área e perímetro, e também vamos precisar usar um pouco de cálculo para maximizar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar nosso trabalho.
  • Vamos chamar a largura do retângulo de .
  • A altura do retângulo vamos chamar de .
  • Como em cima do retângulo temos um semicírculo, a largura dele também será .
Agora, precisamos calcular o perímetro total da janela. O perímetro do retângulo é dado por , e o perímetro do semicírculo, que é metade da circunferência (já que é um semicírculo), é . Assim, o perímetro total da janela pode ser escrito como:
Sabemos que esse perímetro é igual a , então temos:

Passo 3

Agora, vamos expressar a altura em função da largura . Reorganizando a equação que encontramos acima, temos:
Dividindo tudo por 2 para isolar :
Agora temos em termos de . O próximo passo é calcular a área da janela.
A área total da janela é a soma da área do retângulo e da área do semicírculo. A área do retângulo é â, e a área do semicírculo é í. Portanto, a área total da janela se expressa por:
Substituindo na equação, ficamos com:
Agora, precisamos simplificar isso tudo.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Para simplificar ainda mais, precisamos achar um denominador comum entre as frações. O denominador comum aqui será 8. Então, vamos multiplicar a primeira parte por 4:
Agora que temos a área em função de , precisamos maximizar essa função. Para isso, vamos calcular a derivada da função em relação a e igualá-la a zero.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:
Resolvendo para :
Agora que temos , vamos calcular usando a relação que encontramos antes:

Resposta

As dimensões da janela que maximizam a área enquanto mantêm um perímetro de são e, utilizando esse valor em , a altura será dada pela equação que já encontramos.

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Figura P22.45