Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Achar as dimensões de modo que o perímetro seja
a área a maior possível.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma janela que tem um formato bem específico: um retângulo embaixo e um semicírculo em cima. O exercício quer que a gente ache as dimensões desse formato, de modo que o perímetro total da janela seja
e, ao mesmo tempo, a área seja a maior possível. O conteúdo que estamos lidando aqui é de cálculo de área e perímetro, e também vamos precisar usar um pouco de cálculo para maximizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar nosso trabalho.
- Vamos chamar a largura do retângulo de
. - A altura do retângulo vamos chamar de
. - Como em cima do retângulo temos um semicírculo, a largura dele também será
.
Agora, precisamos calcular o perímetro total da janela. O perímetro do retângulo é dado por
, e o perímetro do semicírculo, que é metade da circunferência (já que é um semicírculo), é
. Assim, o perímetro total
da janela pode ser escrito como:
Sabemos que esse perímetro é igual a
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos expressar a altura
em função da largura
. Reorganizando a equação que encontramos acima, temos:
Dividindo tudo por 2 para isolar
:
Agora temos
em termos de
. O próximo passo é calcular a área da janela.
A área
total da janela é a soma da área do retângulo e da área do semicírculo. A área do retângulo é
, e a área do semicírculo é
. Portanto, a área total da janela se expressa por:
Substituindo
na equação, ficamos com:
Agora, precisamos simplificar isso tudo.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Para simplificar ainda mais, precisamos achar um denominador comum entre as frações. O denominador comum aqui será 8. Então, vamos multiplicar a primeira parte por 4:
Agora que temos a área em função de
, precisamos maximizar essa função. Para isso, vamos calcular a derivada da função
em relação a
e igualá-la a zero.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:
Resolvendo para
:
Agora que temos
, vamos calcular
usando a relação que encontramos antes:
Resposta
As dimensões da janela que maximizam a área enquanto mantêm um perímetro de
são
e, utilizando esse valor em
, a altura
será dada pela equação que já encontramos.
Exercícios relacionados
Um disco de raio
pertence ao plano
, com o eixo
passando pelo seu centro. Uma carga superficial de densidade
está presente no disco, que gira em volta do eixo
com uma velocidade angular de
. Calcule
em todos os pontos do eixo
.
Sugestão:
Sugestão:
Utilizando a lei de Ampère na forma integral, calcule
em todo o espaço;
Um fio condutor retilíneo e comprido, conduz uma corrente de
. Um elétron a
do eixo do fio, está em movimento com a velocidade de
. Achar a força sobre o elétron quando ele se move
a) radialmente afastando-se do fio,
a) radialmente afastando-se do fio,
Esferas ocas concêntricas. Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno
e raio externo
, é concêntrica, com uma grande esfera oca condutora, raio interno
e raio externo
(Figura P22.45). A carga total sobre a esfera oca interna é igual a
e a carga total sobre a esfera oca externa é
Figura P22.45
Figura P22.45