Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco de raio com uma distribuição de carga superficial dada por , onde é uma constante conhecida. Vamos precisar usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre distribuição de carga em superfícies e como calcular carga total, potencial e campo elétrico gerados por essa distribuição. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Encontrar a carga total do disco.
Primeiro, para encontrar a carga total no disco, precisamos integrar a densidade de carga superficial sobre toda a área do disco. A densidade de carga superficial nos diz quanto de carga há por unidade de área.
A expressão para é , onde é a distância radial a partir do centro do disco.
Em coordenadas polares, a área de um anel com raio e espessura é .
Então, a carga em um anel é:
Agora, para encontrar a carga total , integramos de até :
Passo 3
Parte (b): Encontrar o potencial no eixo do disco a uma distância do centro.
Para calcular o potencial elétrico no eixo do disco a uma distância do centro, vamos considerar que cada anel de carga contribui com um potencial no ponto desejado.
A expressão do potencial devido a um anel de raio com carga no ponto a distância do centro é:
Já sabemos que , então:
Agora, integramos de até para encontrar o potencial total: