Um disco de raio R possui uma carga superficial distribuição de sigma=sigma0 R / r, onde sigma0 é uma constante conhecida. (a) Encontre a carga total Q do disco. (b) Encontre o potencial no eixo do disco a uma distância x do centro. © Calcule o campo elétrico E no eixo do disco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco de raio com uma distribuição de carga superficial dada por , onde é uma constante conhecida. Vamos precisar usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre distribuição de carga em superfícies e como calcular carga total, potencial e campo elétrico gerados por essa distribuição. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a carga total dQ = sigma , dA = sigma0 Rr cdot 2pi r , dr = 2pi sigma0 R , dr do disco.
Primeiro, para encontrar a carga total Q = integral0^R 2pi sigma0 R , dr = 2pi sigma0 R cdot integral0^R dr = 2pi sigma0 R cdot R = 2pi sigma0 R^2 no disco, precisamos integrar a densidade de carga superficial sobre toda a área do disco. A densidade de carga superficial nos diz quanto de carga há por unidade de área.
A expressão para é , onde é a distância radial a partir do centro do disco.
Em coordenadas polares, a área de um anel com raio e espessura é .
Então, a carga em um anel é:
Agora, para encontrar a carga total , integramos de até :

Passo 3

Parte (b): Encontrar o potencial no eixo do disco a uma distância dV = 14pi varepsilon0 cdot dQraizr^2 + x^2 do centro.
Para calcular o potencial elétrico dV = 14pi varepsilon0 cdot 2pi sigma0 R , drraizr^2 + x^2 = sigma0 R2 varepsilon0 cdot drraizr^2 + x^2 no eixo do disco a uma distância V = integral0^R sigma0 R2 varepsilon0 cdot drraizr^2 + x^2 = sigma0 R2 varepsilon0 cdot ln( r + raizr^2 + x^2 ) g|0^R do centro, vamos considerar que cada anel de carga contribui com um potencial V = sigma0 R2 varepsilon0 [ ln( R + raizR^2 + x^2 ) - ln( 0 + raiz0 + x^2 ) ] no ponto desejado.
A expressão do potencial devido a um anel de raio V = sigma0 R2 varepsilon0 ln( R + raizR^2 + x^2x ) com carga no ponto a distância do centro é:
Já sabemos que , então:
Agora, integramos de até para encontrar o potencial total:

Passo 4

Parte ©: Calcular o campo elétrico E = -dVdx no eixo do disco.
O campo elétrico V = sigma0 R2 varepsilon0 ln( R + raizR^2 + x^2x ) no eixo pode ser encontrado relacionando-se com o potencial dVdx = sigma0 R2 varepsilon0 cdot 1R + raizR^2 + x^2x cdot ( 0 + xraizR^2 + x^2x - R + raizR^2 + x^2x^2 ) que calculamos na parte (b). Sabemos que:
E = -dVdx = sigma0 R2 varepsilon0 cdot x(R + raizR^2 + x^2)raizR^2 + x^2
Vamos derivar a expressão do potencial em relação a :
Simplificando essa derivada, chegamos a:
Podemos simplificar ainda mais se desejar, mas essa é a expressão do campo elétrico no eixo do disco.

Resposta

A carga total do disco é . O potencial no eixo a uma distância do centro é . O campo elétrico no eixo do disco é .

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