Use o resultado obtido no Problema 5 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o campo elétrico ao longo do eixo de um disco carregado. Para isso, vamos usar dois métodos: primeiro, utilizando um resultado que já obtivemos no Problema 5, e depois fazendo a integração direta com a lei de Coulomb. Vamos precisar entender um pouco sobre campos elétricos de distribuições contínuas de carga e como aplicar integrais para calcular esses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que fizemos no Problema 5. Suponhamos que no último problema calculamos o campo elétrico no eixo de um disco de carga uniforme usando simetrias e técnicas de integração. Vamos aproveitar esse resultado para facilitar nosso cálculo aqui.

Passo 3

Vamos considerar um disco com carga total , raio , e uma densidade de carga superficial uniforme . Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância ao longo do eixo do disco.

Passo 4

No Problema 5, provavelmente derivamos que o campo elétrico no eixo de um disco é dado por:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 5

Esse resultado aproveita a simetria do disco e integra as contribuições de todas as cargas infinitesimais no disco para encontrar o campo no ponto desejado. Agora, vamos fazer o mesmo cálculo, mas diretamente usando a lei de Coulomb.

Passo 6

A lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico devido a uma carga pontual é:
Onde é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 7

Para integrar sobre todo o disco, usamos coordenadas polares, já que o disco tem simetria circular. Vamos considerar um anel de raio e espessura . A carga nesse anel é .

Passo 8

A distância do elemento de carga até o ponto ao longo do eixo é:
E o componente do campo elétrico na direção do eixo é:

Passo 9

Integrando de até , temos:

Passo 10

Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
Assumindo :

Resposta

O campo elétrico ao longo do eixo do disco é dado por:

Exercícios relacionados

Use o resultado obtido no Problema 8 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.
Um disco de raio possui uma carga superficial distribuição de , onde é uma constante conhecida. (a) Encontre a carga total do disco. (b) Encontre o potencial no eixo do disco a uma distância do centro. © Calcule o campo elétrico no eixo do disco.
Uma esfera não condutora de raio possui uma densidade de carga de volume , onde é um constante. (a) Mostre que a carga total é ; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio é . © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em todo espaço. (d) Encontre o potencial todos os lugares, assumindo que . (Lembre-se de que é contínuo em .)
Uma esfera não condutora de raio possui uma densidade de carga proporcional à distância até o centro: para , onde é um constante e para . (b) Encontre o campo eletrico dentro e fora da distribuição de carga e esboçe versus .