Use o resultado obtido no Problema 5 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o campo elétrico ao longo do eixo de um disco carregado. Para isso, vamos usar dois métodos: primeiro, utilizando um resultado que já obtivemos no Problema 5, e depois fazendo a integração direta com a lei de Coulomb. Vamos precisar entender um pouco sobre campos elétricos de distribuições contínuas de carga e como aplicar integrais para calcular esses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que fizemos no Problema 5. Suponhamos que no último problema calculamos o campo elétrico no eixo de um disco de carga uniforme usando simetrias e técnicas de integração. Vamos aproveitar esse resultado para facilitar nosso cálculo aqui.
Passo 3
Vamos considerar um disco com carga total
, raio
, e uma densidade de carga superficial uniforme
. Queremos encontrar o campo elétrico
em um ponto a uma distância
ao longo do eixo do disco.
Passo 4
No Problema 5, provavelmente derivamos que o campo elétrico no eixo de um disco é dado por:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 5
Esse resultado aproveita a simetria do disco e integra as contribuições de todas as cargas infinitesimais no disco para encontrar o campo no ponto desejado. Agora, vamos fazer o mesmo cálculo, mas diretamente usando a lei de Coulomb.
Passo 6
A lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico devido a uma carga pontual
é:
Onde
é a distância entre a carga
e o ponto onde queremos calcular o campo, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 7
Para integrar sobre todo o disco, usamos coordenadas polares, já que o disco tem simetria circular. Vamos considerar um anel de raio
e espessura
. A carga nesse anel é
.
Passo 8
A distância
do elemento de carga
até o ponto ao longo do eixo é:
E o componente do campo elétrico na direção do eixo
é:
Passo 9
Integrando de
até
, temos:
Passo 10
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
Assumindo
:
Resposta
O campo elétrico ao longo do eixo do disco é dado por:
Exercícios relacionados
Use o resultado obtido no Problema 8 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.
Um disco de raio
possui uma carga superficial distribuição de
, onde
é uma constante conhecida. (a) Encontre a carga total
do disco. (b) Encontre o potencial no eixo do disco a uma distância
do centro. © Calcule o campo elétrico
no eixo do disco.
Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade de carga de volume
, onde
é um constante. (a) Mostre que a carga total é
; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio
é
. © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em todo espaço. (d) Encontre o potencial
todos os lugares, assumindo que
. (Lembre-se de que
é contínuo em
.)
Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade de carga proporcional à distância até o centro:
para
, onde
é um constante e
para
. (b) Encontre o campo eletrico dentro e fora da distribuição de carga e esboçe
versus
.