Use o resultado obtido no Problema 5 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o campo elétrico ao longo do eixo de um disco carregado. Para isso, vamos usar dois métodos: primeiro, utilizando um resultado que já obtivemos no Problema 5, e depois fazendo a integração direta com a lei de Coulomb. Vamos precisar entender um pouco sobre campos elétricos de distribuições contínuas de carga e como aplicar integrais para calcular esses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que fizemos no Problema 5. Suponhamos que no último problema calculamos o campo elétrico no eixo de um disco de carga uniforme usando simetrias e técnicas de integração. Vamos aproveitar esse resultado para facilitar nosso cálculo aqui.

Passo 3

Vamos considerar um disco com carga total , raio , e uma densidade de carga superficial uniforme . Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância ao longo do eixo do disco.

Passo 4

No Problema 5, provavelmente derivamos que o campo elétrico no eixo de um disco é dado por:
E(z) = sigma2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2)
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 5

Esse resultado aproveita a simetria do disco e integra as contribuições de todas as cargas infinitesimais no disco para encontrar o campo no ponto desejado. Agora, vamos fazer o mesmo cálculo, mas diretamente usando a lei de Coulomb.

Passo 6

A lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico devido a uma carga pontual dE = 14pivarepsilon0 dqr^2 r é:
Onde é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 7

Para integrar sobre todo o disco, usamos coordenadas polares, já que o disco tem simetria circular. Vamos considerar um anel de raio e espessura . A carga nesse anel é .

Passo 8

A distância r = raizz^2 + rho^2 do elemento de carga dEz = dE cdot costheta = 14pivarepsilon0 dqr^2 cdot zr = 14pivarepsilon0 sigma cdot 2pirho drho cdot z(z^2 + rho^2)^3/2 até o ponto ao longo do eixo é:
E o componente do campo elétrico na direção do eixo é:

Passo 9

Integrando de Ez = sigma z2varepsilon0 integral0^R rho drho(z^2 + rho^2)^3/2 até , temos:

Passo 10

Resolvendo a integral:
integral rho drho(z^2 + rho^2)^3/2 = -1raizz^2 + rho^2 + C
Aplicando os limites:
Ez = sigma z2varepsilon0 [ -1raizz^2 + R^2 + 1|z| ]
Assumindo Ez = sigma2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2 ) :

Resposta

O campo elétrico ao longo do eixo do disco é dado por:
E(z) = sigma2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2 )

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