Um disco de raio possui uma densidade de carga para e uma densidade de carga igual mas oposta para . A carga total sobre o disco é igual a zero. (a) Qual o valor do raio ? (b) Encontre o potencial a uma distância ao longo do eixo do disco. © Obtenha uma expressão aproximada para quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco com raio que tem uma distribuição de carga com densidade na região central ( ) e na região externa ( ). A carga total do disco é zero. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a distribuição de carga e o cálculo do potencial elétrico, para resolver as perguntas. Precisaremos entender como calcular a carga total em regiões diferentes e utilizar a fórmula do potencial devido a uma distribuição de carga no eixo de um disco.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) que pede para encontrar o valor de . Sabemos que a carga total do disco é zero, ou seja, a carga na região central ( ) mais a carga na região externa ( ) deve ser igual a zero.
Calcular a carga na região central:
Á
Calcular a carga na região externa:
Á
Somando as cargas:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), que pede para encontrar o potencial a uma distância ao longo do eixo do disco. Para isso, vamos considerar que o potencial devido a uma distribuição de carga no eixo pode ser calculado integrando o potencial devido a anéis infinitesimais.
A expressão geral para o potencial devido a um anel de raio com densidade superficial de carga é:
Simplificando:
Para o potencial total, vamos integrar de até com densidade e de até com densidade :
Calculando as integrais:
Então:
Simplificando:

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte ©, que pede uma expressão aproximada para quando (ou seja, muito maior que ). Nesse caso, podemos usar uma aproximação onde para .
Aplicando essa aproximação na expressão do potencial:
Simplificando:
Substituindo :
Mas para obter a próxima ordem na aproximação, consideramos termos de ordem , resultando em:

Resposta

(a) O raio é igual a .
(b) O potencial a uma distância ao longo do eixo do disco é dado por:
© Quando , a expressão aproximada para é:

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