Um disco de raio R possui uma densidade de carga +sigma0 para r e uma densidade de carga igual mas oposta -sigma0 para a. A carga total sobre o disco é igual a zero. (a) Qual o valor do raio a ? (b) Encontre o potencial a uma distância x ao longo do eixo do disco. © Obtenha uma expressão aproximada para V(x) quando x gg R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco com raio que tem uma distribuição de carga com densidade na região central ( ) e na região externa ( ). A carga total do disco é zero. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a distribuição de carga e o cálculo do potencial elétrico, para resolver as perguntas. Precisaremos entender como calcular a carga total em regiões diferentes e utilizar a fórmula do potencial devido a uma distribuição de carga no eixo de um disco.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) que pede para encontrar o valor de Qcentral = sigma0 cdot Área = sigma0 cdot pi a^2 . Sabemos que a carga total do disco é zero, ou seja, a carga na região central ( Qexterna = (-sigma0) cdot Área = -sigma0 cdot pi (R^2 - a^2) ) mais a carga na região externa ( Qtotal = Qcentral + Qexterna = sigma0 pi a^2 - sigma0 pi (R^2 - a^2) = 0 ) deve ser igual a zero.
Calcular a carga na região central:
sigma0 pi a^2 - sigma0 pi R^2 + sigma0 pi a^2 = 0 2sigma0 pi a^2 = sigma0 pi R^2 2a^2 = R^2 a^2 = R^22 a = Rraiz2 Á
Calcular a carga na região externa:
Á
Somando as cargas:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), que pede para encontrar o potencial dV = sigma cdot 2pi r , dr4pi epsilon0 cdot 1raizx^2 + r^2 a uma distância dV = sigma r , dr2 epsilon0 raizx^2 + r^2 ao longo do eixo do disco. Para isso, vamos considerar que o potencial devido a uma distribuição de carga no eixo pode ser calculado integrando o potencial devido a anéis infinitesimais.
A expressão geral para o potencial devido a um anel de raio V(x) = sigma02 epsilon0 ( integral0^a r , drraizx^2 + r^2 - integrala^R r , drraizx^2 + r^2 ) com densidade superficial de carga integral r , drraizx^2 + r^2 = raizx^2 + r^2 é:
V(x) = sigma02 epsilon0 ( raizx^2 + a^2 - raizx^2 - ( raizx^2 + R^2 - raizx^2 + a^2 ) )
Simplificando:
V(x) = sigma02 epsilon0 ( 2raizx^2 + a^2 - raizx^2 - raizx^2 + R^2 )
Para o potencial total, vamos integrar de até com densidade e de até com densidade :
Calculando as integrais:
Então:
Simplificando:

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte ©, que pede uma expressão aproximada para V(x) approx sigma02 epsilon0 ( 2x (1 + a^22x^2 ) - x - x (1 + R^22x^2 ) ) quando V(x) approx sigma02 epsilon0 ( 2x + a^2x - x - x - R^22x ) V(x) approx sigma02 epsilon0 ( a^2 - R^22x ) (ou seja, a^2 = R^22 V(x) approx sigma02 epsilon0 ( R^22 - R^22x ) = 0 muito maior que V(x) approx sigma0 R^48 epsilon0 x^3 ). Nesse caso, podemos usar uma aproximação onde para .
Aplicando essa aproximação na expressão do potencial:
Simplificando:
Substituindo :
Mas para obter a próxima ordem na aproximação, consideramos termos de ordem , resultando em:

Resposta

(a) O raio V(x) = sigma02 epsilon0 ( 2raizx^2 + a^2 - raizx^2 - raizx^2 + R^2 ) é igual a V(x) approx sigma0 R^48 epsilon0 x^3 .
(b) O potencial a uma distância ao longo do eixo do disco é dado por:
© Quando , a expressão aproximada para é:

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