Um disco de raio
possui uma densidade de carga
para
e uma densidade de carga igual mas oposta
para
. A carga total sobre o disco é igual a zero. (a) Qual o valor do raio
? (b) Encontre o potencial a uma distância
ao longo do eixo do disco. © Obtenha uma expressão aproximada para
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco com raio
que tem uma distribuição de carga com densidade
na região central (
) e
na região externa (
). A carga total do disco é zero. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a distribuição de carga e o cálculo do potencial elétrico, para resolver as perguntas. Precisaremos entender como calcular a carga total em regiões diferentes e utilizar a fórmula do potencial devido a uma distribuição de carga no eixo de um disco.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) que pede para encontrar o valor de
. Sabemos que a carga total do disco é zero, ou seja, a carga na região central (
) mais a carga na região externa (
) deve ser igual a zero.
Calcular a carga na região central:
Calcular a carga na região externa:
Somando as cargas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), que pede para encontrar o potencial
a uma distância
ao longo do eixo do disco. Para isso, vamos considerar que o potencial devido a uma distribuição de carga no eixo pode ser calculado integrando o potencial devido a anéis infinitesimais.
A expressão geral para o potencial devido a um anel de raio
com densidade superficial de carga
é:
Simplificando:
Para o potencial total, vamos integrar de
até
com densidade
e de
até
com densidade
:
Calculando as integrais:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Por fim, vamos resolver a parte ©, que pede uma expressão aproximada para
quando
(ou seja,
muito maior que
). Nesse caso, podemos usar uma aproximação onde
para
.
Aplicando essa aproximação na expressão do potencial:
Simplificando:
Substituindo
:
Mas para obter a próxima ordem na aproximação, consideramos termos de ordem
, resultando em:
Resposta
(a) O raio
é igual a
.
(b) O potencial a uma distância
ao longo do eixo do disco é dado por:
© Quando
, a expressão aproximada para
é:
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