Use o resultado obtido no Problema 8 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício sobre campo elétrico gerado por um disco carregado. A gente vai usar o que vimos no Problema 8 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo desse disco. Depois, vamos refazer esse cálculo usando a lei de Coulomb diretamente, fazendo uma integração. Vamos precisar saber sobre distribuição de carga, campo elétrico e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que fizemos no Problema 8. Lá, calculamos o campo elétrico no eixo de um anel carregado, que é uma parte do disco. A ideia é que o disco pode ser visto como uma soma de anéis infinitesimais.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco usando o resultado do Problema 8, vamos considerar um disco com raio e carga total . A densidade de carga superficial é .

Passo 4

Dividimos o disco em anéis concêntricos com raio e espessura . A carga de um anel é .

Passo 5

Do Problema 8, sabemos que o campo elétrico produzido por um anel no eixo a uma distância do centro é:

Passo 6

Substituindo na expressão do campo:

Passo 7

Para achar o campo total , integramos de até :

Passo 8

Fazendo a substituição , , a integral fica:

Passo 9

Calculando os limites:

Passo 10

Simplificando a expressão final para o campo elétrico ao longo do eixo:

Passo 11

Agora, vamos calcular o mesmo campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb. A lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico devido a um elemento de carga é:

Passo 12

Para o disco, consideramos um elemento de área com carga . A distância do elemento ao ponto no eixo é .

Passo 13

O campo só tem componente na direção do eixo , então:

Passo 14

Notamos que é a mesma integral que fizemos anteriormente. Portanto, ao integrar de a , chegamos ao mesmo resultado:

Resposta

O campo elétrico ao longo do eixo do disco é:

Exercícios relacionados

Um disco de raio possui uma carga superficial distribuição de , onde é uma constante conhecida. (a) Encontre a carga total do disco. (b) Encontre o potencial no eixo do disco a uma distância do centro. © Calcule o campo elétrico no eixo do disco.
O diagrama PV mostra um processo envolvendo de um gás ideal.
c) Quanto calor teve de ser adicionado durante o processo para aumentar a energia interna do gás em 15000 J?
Use o resultado obtido no Problema 5 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.
Uma esfera não condutora de raio possui uma densidade de carga de volume , onde é um constante. (a) Mostre que a carga total é ; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio é . © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em todo espaço. (d) Encontre o potencial todos os lugares, assumindo que . (Lembre-se de que é contínuo em .)