Use o resultado obtido no Problema 8 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício sobre campo elétrico gerado por um disco carregado. A gente vai usar o que vimos no Problema 8 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo desse disco. Depois, vamos refazer esse cálculo usando a lei de Coulomb diretamente, fazendo uma integração. Vamos precisar saber sobre distribuição de carga, campo elétrico e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que fizemos no Problema 8. Lá, calculamos o campo elétrico no eixo de um anel carregado, que é uma parte do disco. A ideia é que o disco pode ser visto como uma soma de anéis infinitesimais.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco usando o resultado do Problema 8, vamos considerar um disco com raio
e carga total
. A densidade de carga superficial é
.
Passo 4
Dividimos o disco em anéis concêntricos com raio
e espessura
. A carga de um anel é
.
Passo 5
Do Problema 8, sabemos que o campo elétrico produzido por um anel no eixo a uma distância
do centro é:
Passo 6
Substituindo
na expressão do campo:
Passo 7
Para achar o campo total
, integramos
de
até
:
Passo 8
Fazendo a substituição
,
, a integral fica:
Passo 9
Calculando os limites:
Passo 10
Simplificando a expressão final para o campo elétrico ao longo do eixo:
Passo 11
Agora, vamos calcular o mesmo campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb. A lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico devido a um elemento de carga
é:
Passo 12
Para o disco, consideramos um elemento de área
com carga
. A distância do elemento ao ponto no eixo é
.
Passo 13
O campo só tem componente na direção do eixo
, então:
Passo 14
Notamos que é a mesma integral que fizemos anteriormente. Portanto, ao integrar de
a
, chegamos ao mesmo resultado:
Resposta
O campo elétrico ao longo do eixo do disco é:
Exercícios relacionados
Um disco de raio
possui uma carga superficial distribuição de
, onde
é uma constante conhecida. (a) Encontre a carga total
do disco. (b) Encontre o potencial no eixo do disco a uma distância
do centro. © Calcule o campo elétrico
no eixo do disco.
O diagrama PV mostra um processo
envolvendo
de um gás ideal.
c) Quanto calor teve de ser adicionado durante o processo para aumentar a energia interna do gás em 15000 J?
c) Quanto calor teve de ser adicionado durante o processo para aumentar a energia interna do gás em 15000 J?
Use o resultado obtido no Problema 5 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.
Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade de carga de volume
, onde
é um constante. (a) Mostre que a carga total é
; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio
é
. © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em todo espaço. (d) Encontre o potencial
todos os lugares, assumindo que
. (Lembre-se de que
é contínuo em
.)