Use o resultado obtido no Problema 8 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício sobre campo elétrico gerado por um disco carregado. A gente vai usar o que vimos no Problema 8 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo desse disco. Depois, vamos refazer esse cálculo usando a lei de Coulomb diretamente, fazendo uma integração. Vamos precisar saber sobre distribuição de carga, campo elétrico e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que fizemos no Problema 8. Lá, calculamos o campo elétrico no eixo de um anel carregado, que é uma parte do disco. A ideia é que o disco pode ser visto como uma soma de anéis infinitesimais.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco usando o resultado do Problema 8, vamos considerar um disco com raio e carga total . A densidade de carga superficial é .

Passo 4

Dividimos o disco em anéis concêntricos com raio e espessura . A carga de um anel é .

Passo 5

Do Problema 8, sabemos que o campo elétrico produzido por um anel no eixo a uma distância dE = 14piepsilon0 cdot dQ cdot x(x^2 + r^2)^3/2 do centro é:

Passo 6

Substituindo dE = 14piepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r dr cdot x(x^2 + r^2)^3/2 = sigma x2epsilon0 cdot r dr(x^2 + r^2)^3/2 na expressão do campo:

Passo 7

Para achar o campo total E = sigma x2epsilon0 integral0^R r dr(x^2 + r^2)^3/2 , integramos de até :

Passo 8

Fazendo a substituição E = sigma x2epsilon0 cdot 12 integralx^2^x^2 + R^2 u^-3/2 du = sigma x4epsilon0 [ -2u^-1/2 ]x^2^x^2 + R^2 , , a integral fica:

Passo 9

Calculando os limites:
E = sigma x4epsilon0 ( -2(x^2 + R^2)^-1/2 + 2x^-1 ) = sigma2epsilon0 ( xraizx^2 + R^2 - 1 )

Passo 10

Simplificando a expressão final para o campo elétrico ao longo do eixo:
E = sigma2epsilon0 ( 1 - xraizx^2 + R^2 )

Passo 11

Agora, vamos calcular o mesmo campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb. A lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico devido a um elemento de carga dE = 14piepsilon0 cdot dq cdot r|r|^3 é:

Passo 12

Para o disco, consideramos um elemento de área com carga . A distância do elemento ao ponto no eixo é .

Passo 13

O campo só tem componente na direção do eixo dEx = 14piepsilon0 cdot sigma 2pi r dr cdot x(x^2 + r^2)^3/2 = sigma x2epsilon0 cdot r dr(x^2 + r^2)^3/2 , então:

Passo 14

Notamos que é a mesma integral que fizemos anteriormente. Portanto, ao integrar de E = sigma2epsilon0 ( 1 - xraizx^2 + R^2 ) a , chegamos ao mesmo resultado:

Resposta

O campo elétrico ao longo do eixo do disco é:
E = sigma2epsilon0 ( 1 - xraizx^2 + R^2 )

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