Encontre a curvatura da curva no ponto (1, 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos encontrar a curvatura da curva definida por no ponto . A curvatura nos diz o quão “curvada” está uma curva em um determinado ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e usar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função . A primeira derivada, , nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto .

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada, , que nos ajuda a entender como a inclinação está mudando, ou seja, a concavidade da curva.

Passo 4

A fórmula para a curvatura de uma função é:
Vamos substituir e na fórmula.

Passo 5

Primeiro, substituímos e na fórmula da curvatura:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a curvatura no ponto :
Calculando :

Resposta

A curvatura da curva no ponto é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Usando a regra da cadeia, calcule .
(b)
No projeto de curvas de transferência, usadas para para ligar trechos de ferrovia em trilhos retos, é importante perceber que a aceleração do trem deve ser contínua, de modo que a força de reação exercida pelo trem na pista também é contínua. Por causa das fórmulas para os componentes de aceleração na Seção 13.4, este só será o caso se a curvatura variar continuamente.
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por para e para poderia ser a função .
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa . Mostre que a magnitude da força que é necessária para produzir esse movimento, denominada força centrípeta, é
Encontre e .
(a)
Um disco de raio está rodando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante . Uma partícula inicia no centro do disco e se move em direção às bordas em uma direcção radial fixa de forma que sua posição no instante , é dada por , onde
(a) Mostre que a velocidade da partícula é
onde é a velocidade do ponto na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração da partícula é
onde é a aceleraçăo na borda do disco. O termo extra é chamado aceleração de Coriolis; é o resultado da interação entre a rotaçăo do disco e o movimento da particula. Podemos obter uma demonstração física dessa aceleração andando em direção à borda de um carrossel.
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação