Encontre a curvatura da curva y = x^4 no ponto (1, 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos encontrar a curvatura da curva definida por no ponto . A curvatura nos diz o quão “curvada” está uma curva em um determinado ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e usar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função . A primeira derivada, , nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto .

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada, , que nos ajuda a entender como a inclinação está mudando, ou seja, a concavidade da curva.

Passo 4

A fórmula para a curvatura de uma função é:
Vamos substituir e na fórmula.

Passo 5

Primeiro, substituímos e na fórmula da curvatura:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a curvatura no ponto :
Calculando :

Resposta

A curvatura da curva no ponto é aproximadamente .

Exercícios relacionados