Encontre a curvatura da curva
no ponto (1, 1).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos encontrar a curvatura da curva definida por
no ponto
. A curvatura nos diz o quão “curvada” está uma curva em um determinado ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e usar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função
. A primeira derivada,
, nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
.
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada,
, que nos ajuda a entender como a inclinação está mudando, ou seja, a concavidade da curva.
Passo 4
A fórmula para a curvatura
de uma função
é:
Vamos substituir
e
na fórmula.
Passo 5
Primeiro, substituímos
e
na fórmula da curvatura:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a curvatura no ponto
:
Calculando
:
Resposta
A curvatura da curva
no ponto
é aproximadamente
.