Encontre a curvatura da curva
no ponto (1, 1).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos encontrar a curvatura da curva definida por
no ponto
. A curvatura nos diz o quão “curvada” está uma curva em um determinado ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e usar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função
. A primeira derivada,
, nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
.
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada,
, que nos ajuda a entender como a inclinação está mudando, ou seja, a concavidade da curva.
Passo 4
A fórmula para a curvatura
de uma função
é:
Vamos substituir
e
na fórmula.
Passo 5
Primeiro, substituímos
e
na fórmula da curvatura:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a curvatura no ponto
:
Calculando
:
Resposta
A curvatura da curva
no ponto
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Usando a regra da cadeia, calcule
.
(b)
(b)
No projeto de curvas de transferência, usadas para para ligar trechos de ferrovia em trilhos retos, é importante perceber que a aceleração do trem deve ser contínua, de modo que a força de reação exercida pelo trem na pista também é contínua. Por causa das fórmulas para os componentes de aceleração na Seção 13.4, este só será o caso se a curvatura variar continuamente.
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por para
e
para
poderia ser a função
.
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa . Mostre que a magnitude da força
que é necessária para produzir esse movimento, denominada força centrípeta, é
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa
Encontre
e
.
(a)
(a)
Um disco de raio está rodando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante
. Uma partícula inicia no centro do disco e se move em direção às bordas em uma direcção radial fixa de forma que sua posição no instante
, é dada por
, onde
(a) Mostre que a velocidade
da partícula é
onde
é a velocidade do ponto na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração da partícula é
(b) Mostre que a aceleração
onde
é a aceleraçăo na borda do disco. O termo extra
é chamado aceleração de Coriolis; é o resultado da interação entre a rotaçăo do disco e o movimento da particula. Podemos obter uma demonstração física dessa aceleração andando em direção à borda de um carrossel.
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação