Um disco de raio R tem uma densidade de carga sigma e gira com a velocidade angular w. a) Mostre que o campo magnético num ponto do eixo do disco a uma distância x do centro é expresso por Bx=muo w sigma2(R^2+2 x^2raizR^2+x^2-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um disco carregado com densidade de carga sigma que está girando com velocidade angular omega. A gente precisa descobrir qual é o campo magnético Bx em um ponto do eixo do disco, a uma distância x do centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por cargas em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando o disco gira, as cargas elétricas nele se movem, criando uma corrente elétrica efetiva. Essa corrente vai gerar um campo magnético ao redor do disco. A Lei de Biot-Savart nos permite calcular esse campo somando as contribuições de todas as pequenas correntes no disco.

Passo 3

Vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio r e espessura dr. A área desse anel é dA = 2pi r, dr. A carga nesse anel é dq = sigma , dA = 2pi sigma r, dr. Como o disco gira com velocidade angular omega, a velocidade linear das cargas no anel é v = omega r.

Passo 4

A corrente infinitesimal gerada por esse anel é dI = dqdt. Como as cargas estão se movendo com velocidade v, o tempo para uma carga dar uma volta completa é T = 2pi rv = 2pi romega r = 2piomega. Então, dI = dqT = 2pi sigma r, dr2pi/omega = sigma omega r, dr.

Passo 5

Agora, aplicando a Lei de Biot-Savart para um anel, o campo magnético no eixo gerado por esse anel é . Substituindo dBx = mu02 dI cdot r^2(r^2 + x^2)^3/2, temos:

Passo 6

Para encontrar o campo magnético total Bx, integramos dBx de r = 0 até r = R:
Fazendo a substituição Bx = mu0 sigma omega2 integral0^R r^3(r^2 + x^2)^3/2 dr , u = r^2 + x^2, a integral se simplifica.

Passo 7

Após resolver a integral, chegamos a:
Bx = mu0 omega sigma2 ( R^2 + 2x^2raizR^2 + x^2 - 2x )

Resposta

O campo magnético no ponto do eixo a uma distância x do centro do disco é
Bx = mu0 omega sigma2 ( R^2 + 2 x^2raizR^2 + x^2 - 2 x )

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