Um disco de raio
tem uma densidade de carga
e gira com a velocidade angular
. a) Mostre que o campo magnético num ponto do eixo do disco a uma distância
do centro é expresso por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um disco carregado com densidade de carga
que está girando com velocidade angular
. A gente precisa descobrir qual é o campo magnético
em um ponto do eixo do disco, a uma distância
do centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por cargas em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando o disco gira, as cargas elétricas nele se movem, criando uma corrente elétrica efetiva. Essa corrente vai gerar um campo magnético ao redor do disco. A Lei de Biot-Savart nos permite calcular esse campo somando as contribuições de todas as pequenas correntes no disco.
Passo 3
Vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio
e espessura
. A área desse anel é
. A carga nesse anel é
. Como o disco gira com velocidade angular
, a velocidade linear das cargas no anel é
.
Passo 4
A corrente infinitesimal gerada por esse anel é
. Como as cargas estão se movendo com velocidade
, o tempo para uma carga dar uma volta completa é
. Então,
.
Passo 5
Agora, aplicando a Lei de Biot-Savart para um anel, o campo magnético no eixo gerado por esse anel é . Substituindo
, temos:
Passo 6
Para encontrar o campo magnético total
, integramos
de
até
:
Fazendo a substituição
,
, a integral se simplifica.
Passo 7
Após resolver a integral, chegamos a:
Resposta
O campo magnético no ponto do eixo a uma distância
do centro do disco é