Durante o desenvolvimento de um novo tipo de tela sensivel ao toque, engenheiros descobrem que a uniformidade do campo elétrico sobre a superficie é essencial para a precisāo do toque. Considere duas placas planas infinitas com densidades superficiais de carga
e
. Encontre:
b) O valor minimo do campo, indicando as regiōes em que ele ocorre e como chegou nesta conclusāo.
b) O valor minimo do campo, indicando as regiōes em que ele ocorre e como chegou nesta conclusāo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas placas infinitas com densidades de carga diferentes: uma com
e a outra com
. O objetivo aqui é encontrar o valor mínimo do campo elétrico gerado por essas placas, identificar em quais regiões esse valor ocorre e explicar como chegamos a essa conclusão.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o campo elétrico se comporta perto de placas infinitas carregadas e como a superposição dos campos de ambas as placas afeta o campo resultante em diferentes regiões do espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a fórmula do campo elétrico gerado por uma placa infinita com densidade superficial de carga
. O campo elétrico devido a uma única placa infinita é dado por:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é a densidade superficial de carga, -
é a permissividade do vácuo ( ).
Esse campo é perpendicular à placa e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se a carga for negativa.
Passo 3
Agora, vamos considerar as duas placas juntas. Como temos duas placas com cargas diferentes, precisamos calcular o campo elétrico resultante em diferentes regiões do espaço: à esquerda de ambas as placas, entre as placas e à direita de ambas as placas.
Vamos chamar:
- Placa 1:
(negativa) - Placa 2:
(positiva)
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico devido a cada placa em cada região.
À esquerda da Placa 1:
- Campo da Placa 1 (
): Como a carga é negativa, o campo aponta para a placa. - Campo da Placa 2 (
): Como a carga é positiva, o campo aponta para longe da placa.
Entre as placas:
- Campo da Placa 1 (
): Aponta para a Placa 1. - Campo da Placa 2 (
): Aponta para longe da Placa 2.
À direita da Placa 2:
- Campo da Placa 1 (
): Aponta para a Placa 1. - Campo da Placa 2 (
): Aponta para longe da Placa 2.
Passo 5
Para cada região, somamos vetorialmente os campos elétricos das duas placas.
À esquerda da Placa 1:
Entre as placas:
À direita da Placa 2:
Observe que entre as placas, o campo da Placa 2 é na direção oposta, por isso subtrai.
Passo 6
Vamos calcular os valores numéricos.
Primeiro, converter as densidades de carga para Coulombs por metro quadrado:
Agora, calcular cada região.
À esquerda da Placa 1:
Entre as placas:
À direita da Placa 2:
Passo 7
Vamos simplificar os cálculos.
Primeiro, calcular o denominador comum:
Agora, cada campo:
À esquerda da Placa 1:
Entre as placas:
À direita da Placa 2:
Passo 8
Agora, vamos analisar os resultados:
- À esquerda da Placa 1:
- Entre as placas:
- À direita da Placa 2:
O valor mínimo do campo elétrico ocorre onde a sua magnitude é menor. Observamos que entre as placas o campo é mais intenso, enquanto nas regiões externas às placas o campo é menor.
Resposta
O valor mínimo do campo elétrico é aproximadamente
e ocorre nas regiões à esquerda da Placa 1 e à direita da Placa 2.
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Durante o desenvolvimento de um novo tipo de tela sensivel ao toque, engenheiros descobrem que a uniformidade do campo elétrico sobre a superficie é essencial para a precisāo do toque. Considere duas placas planas infinitas com densidades superficiais de carga
e
. Encontre:
a) O valor máximo do campo, indicando as regiōes em que ele ocorre e como chegou nesta conclusāo.
a) O valor máximo do campo, indicando as regiōes em que ele ocorre e como chegou nesta conclusāo.
Um disco de raio
tem uma densidade de carga
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do centro é expresso por
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