Durante o desenvolvimento de um novo tipo de tela sensivel ao toque, engenheiros descobrem que a uniformidade do campo elétrico sobre a superficie é essencial para a precisāo do toque. Considere duas placas planas infinitas com densidades superficiais de carga e . Encontre:
b) O valor minimo do campo, indicando as regiōes em que ele ocorre e como chegou nesta conclusāo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas placas infinitas com densidades de carga diferentes: uma com e a outra com . O objetivo aqui é encontrar o valor mínimo do campo elétrico gerado por essas placas, identificar em quais regiões esse valor ocorre e explicar como chegamos a essa conclusão.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o campo elétrico se comporta perto de placas infinitas carregadas e como a superposição dos campos de ambas as placas afeta o campo resultante em diferentes regiões do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a fórmula do campo elétrico gerado por uma placa infinita com densidade superficial de carga . O campo elétrico devido a uma única placa infinita é dado por:
onde:
  • é o campo elétrico,
  • é a densidade superficial de carga,
  • é a permissividade do vácuo ( ).
Esse campo é perpendicular à placa e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se a carga for negativa.

Passo 3

Agora, vamos considerar as duas placas juntas. Como temos duas placas com cargas diferentes, precisamos calcular o campo elétrico resultante em diferentes regiões do espaço: à esquerda de ambas as placas, entre as placas e à direita de ambas as placas.
Vamos chamar:
  • Placa 1: (negativa)
  • Placa 2: (positiva)

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico devido a cada placa em cada região.
À esquerda da Placa 1:
  • Campo da Placa 1 ( ): Como a carga é negativa, o campo aponta para a placa.
  • Campo da Placa 2 ( ): Como a carga é positiva, o campo aponta para longe da placa.
Entre as placas:
  • Campo da Placa 1 ( ): Aponta para a Placa 1.
  • Campo da Placa 2 ( ): Aponta para longe da Placa 2.
À direita da Placa 2:
  • Campo da Placa 1 ( ): Aponta para a Placa 1.
  • Campo da Placa 2 ( ): Aponta para longe da Placa 2.

Passo 5

Para cada região, somamos vetorialmente os campos elétricos das duas placas.
À esquerda da Placa 1:
Entre as placas:
À direita da Placa 2:
Observe que entre as placas, o campo da Placa 2 é na direção oposta, por isso subtrai.

Passo 6

Vamos calcular os valores numéricos.
Primeiro, converter as densidades de carga para Coulombs por metro quadrado:
Agora, calcular cada região.
À esquerda da Placa 1:
Entre as placas:
À direita da Placa 2:

Passo 7

Vamos simplificar os cálculos.
Primeiro, calcular o denominador comum:
Agora, cada campo:
À esquerda da Placa 1:
Entre as placas:
À direita da Placa 2:

Passo 8

Agora, vamos analisar os resultados:
  • À esquerda da Placa 1:
  • Entre as placas:
  • À direita da Placa 2:
O valor mínimo do campo elétrico ocorre onde a sua magnitude é menor. Observamos que entre as placas o campo é mais intenso, enquanto nas regiões externas às placas o campo é menor.

Resposta

O valor mínimo do campo elétrico é aproximadamente e ocorre nas regiões à esquerda da Placa 1 e à direita da Placa 2.

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