Um disco de raio unitário gira em torno de seu eixo de simetria de modo que o ângulo de rotação é dado por
. Calcule a magnitude da aceleração total (componentes tangencial e centrípeta) de um ponto na borda do disco no instante
, dado que a magnitude da velocidade desse ponto é
nesse mesmo instante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um disco com raio unitário que está girando de tal forma que o ângulo de rotação, ou seja, quanto ele gira, é dado por
. O que a gente precisa descobrir é a magnitude da aceleração total de um ponto na borda desse disco no instante
, sabendo que a velocidade desse ponto naquele instante é
. Vamos usar conceitos de movimento circular e acelerações tangencial e centrípeta para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é o ângulo de rotação em função do tempo
, e
é uma constante. Para encontrar as acelerações, precisamos das derivadas de
em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade angular
, que é a primeira derivada de
em relação ao tempo:
Passo 4
Agora, calculamos a aceleração angular
, que é a segunda derivada de
em relação ao tempo:
Passo 5
A velocidade tangencial
de um ponto na borda do disco está relacionada com a velocidade angular
e o raio
(que é 1, já que o raio é unitário):
Mas no instante
, essa velocidade é
. Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as componentes da aceleração. A aceleração total em movimento circular tem duas partes:
- Aceleração centrípeta (
): relacionada à mudança na direção da velocidade. - Aceleração tangencial (
): relacionada à mudança na magnitude da velocidade.
A aceleração centrípeta é dada por:
E a aceleração tangencial é:
Passo 7
Agora, substituímos
que encontramos anteriormente:
Passo 8
A aceleração total (
) é a combinação vetorial de
e
. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
Resposta
A magnitude da aceleração total do ponto na borda do disco no instante
é: