Um disco de raio unitário gira em torno de seu eixo de simetria de modo que o ângulo de rotação é dado por theta=c t^2. Calcule a magnitude da aceleração total (componentes tangencial e centrípeta) de um ponto na borda do disco no instante t, dado que a magnitude da velocidade desse ponto é v0 nesse mesmo instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um disco com raio unitário que está girando de tal forma que o ângulo de rotação, ou seja, quanto ele gira, é dado por theta = c t^2. O que a gente precisa descobrir é a magnitude da aceleração total de um ponto na borda desse disco no instante t, sabendo que a velocidade desse ponto naquele instante é v0. Vamos usar conceitos de movimento circular e acelerações tangencial e centrípeta para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa theta = c t^2. Aqui, theta é o ângulo de rotação em função do tempo t, e c é uma constante. Para encontrar as acelerações, precisamos das derivadas de theta em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade angular omega, que é a primeira derivada de theta em relação ao tempo:
omega = dthetadt = ddt(c t^2) = 2c t

Passo 4

Agora, calculamos a aceleração angular alpha, que é a segunda derivada de theta em relação ao tempo:
alpha = domegadt = ddt(2c t) = 2c

Passo 5

A velocidade tangencial v de um ponto na borda do disco está relacionada com a velocidade angular omega e o raio r (que é 1, já que o raio é unitário):
v = omega r = 2c t cdot 1 = 2c t
Mas no instante t, essa velocidade é v0. Então:
2c t = v0 implies c = v02t

Passo 6

Agora, vamos encontrar as componentes da aceleração. A aceleração total em movimento circular tem duas partes:
  1. Aceleração centrípeta ( ac): relacionada à mudança na direção da velocidade.
  2. Aceleração tangencial ( at): relacionada à mudança na magnitude da velocidade.
A aceleração centrípeta é dada por:
ac = omega^2 r = (2c t)^2 cdot 1 = 4c^2 t^2
E a aceleração tangencial é:
at = alpha r = 2c cdot 1 = 2c

Passo 7

Agora, substituímos c que encontramos anteriormente:
ac = 4 (v02t)^2 t^2 = 4 cdot v0^24 = v0^2
at = 2 cdot v02t = v0t

Passo 8

A aceleração total ( atotal) é a combinação vetorial de ac e at. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
atotal = raizac^2 + at^2 = raizv0^4 + (v0t)^2 = raizv0^4 + v0^2t^2

Resposta

A magnitude da aceleração total do ponto na borda do disco no instante t é:
atotal = raizv0^4 + v0^2t^2

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