Um disco de raio unitário gira em torno de seu eixo de simetria de modo que o ângulo de rotação é dado por . Calcule a magnitude da aceleração total (componentes tangencial e centrípeta) de um ponto na borda do disco no instante , dado que a magnitude da velocidade desse ponto é nesse mesmo instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um disco com raio unitário que está girando de tal forma que o ângulo de rotação, ou seja, quanto ele gira, é dado por . O que a gente precisa descobrir é a magnitude da aceleração total de um ponto na borda desse disco no instante , sabendo que a velocidade desse ponto naquele instante é . Vamos usar conceitos de movimento circular e acelerações tangencial e centrípeta para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é o ângulo de rotação em função do tempo , e é uma constante. Para encontrar as acelerações, precisamos das derivadas de em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade angular , que é a primeira derivada de em relação ao tempo:

Passo 4

Agora, calculamos a aceleração angular , que é a segunda derivada de em relação ao tempo:

Passo 5

A velocidade tangencial de um ponto na borda do disco está relacionada com a velocidade angular e o raio (que é 1, já que o raio é unitário):
Mas no instante , essa velocidade é . Então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as componentes da aceleração. A aceleração total em movimento circular tem duas partes:
  1. Aceleração centrípeta ( ): relacionada à mudança na direção da velocidade.
  2. Aceleração tangencial ( ): relacionada à mudança na magnitude da velocidade.
A aceleração centrípeta é dada por:
E a aceleração tangencial é:

Passo 7

Agora, substituímos que encontramos anteriormente:

Passo 8

A aceleração total ( ) é a combinação vetorial de e . Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:

Resposta

A magnitude da aceleração total do ponto na borda do disco no instante é:

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