Uma roda raiada com 6 raios gira com frequência angular constante igual a
. Deseja-se lançar (perpendicularmente ao plano da roda) uma flecha de comprimento
de modo que ela não toque em nenhum raio. O lançamento é feito com a flecha perpendicular ao plano da roda e rente a ela. Suponha que tanto a flecha quanto os raios possuam espessura desprezível. Explique como a velocidade de lançamento da flecha depende da distância entre o ponto de lançamento e o eixo da roda e da posição do lançamento entre dois raios consecutivos. Qual deve ser a velocidade mínima da flecha de modo que ela atravesse a roda sem tocar em nenhum raio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma roda com 6 raios girando a uma frequência angular de 5 rotações por segundo. A gente quer lançar uma flecha de 0,2 metros de comprimento perpendicularmente à roda, de modo que ela não encoste em nenhum raio. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de rotação, frequência angular, velocidade linear e chances de colisão entre a flecha e os raios enquanto a roda gira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a frequência angular. A roda faz 5 rotações por segundo. Como cada rotação completa é
radianos, a velocidade angular
é dada por:
Passo 3
Cada raio da roda está separado igualmente, já que são 6 raios. O ângulo entre dois raios consecutivos é:
Isso significa que a cada
radianos, temos um novo raio.
Passo 4
Agora, vamos pensar na flecha. Ela tem 0,2 metros de comprimento e é lançada perpendicularmente à roda, logo, a velocidade da flecha
depende de onde ela é lançada em relação ao eixo da roda e da posição dos raios ao momento do lançamento.
Se lançarmos a flecha a uma distância
do eixo da roda, a flecha precisa atravessar a roda antes que um raio alcance a mesma posição. Para isso, a flecha deve ter tempo suficiente para cruzar a roda sem encontrar nenhum raio.
Passo 5
Vamos calcular o tempo que a flecha leva para atravessar a roda. O comprimento da flecha é
, então o tempo
é:
Onde
é a velocidade da flecha.
Passo 6
Durante esse tempo
, a roda gira um ângulo
. Esse ângulo pode ser calculado pela relação:
Para que a flecha não toque em nenhum raio, esse ângulo
precisa ser menor que o espaçamento angular entre os raios, que é
radianos.
Passo 7
Agora, vamos isolar
nessa desigualdade para encontrar a velocidade mínima da flecha:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade mínima da flecha deve ser maior que
para que ela atravesse a roda sem tocar em nenhum raio.
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