Um disco uniforme com massa de 40,0 kg e raio de 0,200 m é girado em seu centro em torno de um eixo estacionário horizontal sem atrito. O disco inicialmente está em repouso, e depois uma força constante F=30,0 N é aplicada tangente à borda do disco.
b) Qual é o módulo a da aceleração resultante de um ponto na borda do disco depois que o disco tiver girado por 0,200 rotação?
Reposta: a=4,06 m / s^2

Dicas:

  • Como a força é constante, a aceleração angular deve ser constante, portanto podemos usar a seguinte relação omegaz^2=omega0^2+2 alphaz De.
  • Usando a relação do torque resultante do sistema sum tauz=(1 / 2) I alphaz, sabendo que o momento de inércia do disco é I=(1 / 2) M R^2, podemos achar a aceleração angular.
  • Com a aceleração angular podemos encontrar a velocidade angular quanto tiver feito apenas 0,200 rotação, basta converter 0,200 rotação para radianos, sabendo que 1 rotação é igual a 2 pi radianos.
  • Após achar a velocidade angular, a velocidade tangencial é dada por v=omegaz R.
  • A acelração tangencial é dada por a=alphaz R e a aceleração radial é dada por omega^2 R /. Basta achar o vetor aceleração resultante a=raiza tang ^2+a rad ^2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um disco uniforme com massa de e raio de que está girando em torno de um eixo horizontal sem atrito. Inicialmente, o disco está parado, e depois uma força constante de é aplicada tangencialmente na borda do disco. A pergunta é: qual é o módulo da aceleração resultante de um ponto na borda do disco após ele ter girado rotações?
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de dinâmica rotacional, como torque, momento de inércia, aceleração angular e velocidades angulares. Vamos dividir a resolução em passos bem detalhados para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a força aplicada gera uma aceleração no disco. Quando aplicamos uma força tangencial na borda do disco, isso cria um torque ( tau = F times R ) que faz o disco girar. O torque é calculado pela fórmula:
tau = 30,0 , N times 0,200 , m = 6,0 , Ncdotm
onde é a força aplicada e é o raio do disco. Assim,

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular ( I = 12 M R^2 ). Para isso, precisamos do momento de inércia ( I = 12 times 40,0 , kg times (0,200 , m)^2 = 12 times 40,0 times 0,0400 = 0,800 , kgcdotm^2 ) do disco. Para um disco uniforme girando em torno de seu centro, o momento de inércia é:
onde e . Substituindo:

Passo 4

Com o torque e o momento de inércia, podemos encontrar a aceleração angular usando a relação:
tau = I times alphaz
Rearranjando para encontrar alphaz = tauI = 6,0 , Ncdotm0,800 , kgcdotm^2 = 7,5 , rad/s^2 :

Passo 5

Agora, precisamos saber a velocidade angular ( De) após o disco ter girado omegaz^2 = omega0^2 + 2 alphaz De rotações. Primeiro, convertemos rotações para radianos. Sabemos que omegaz^2 = 0 + 2 times 7,5 , rad/s^2 times 1,2566 , rad = 18,8496 , rad^2/s^2 rotação completa é omegaz = raiz18,8496 approx 4,34 , rad/s radianos, então:
çõçã
Como o disco parte do repouso ( ), usamos a equação do movimento angular com aceleração constante:
Substituindo os valores:
Então,

Passo 6

Com a velocidade angular, podemos encontrar a aceleração tangencial ( atang = alphaz times R = 7,5 , rad/s^2 times 0,200 , m = 1,5 , m/s^2 ) e a aceleração radial ( arad = omegaz^2 times R = (4,34 , rad/s)^2 times 0,200 , m approx 3,77 , m/s^2 ):

Passo 7

Finalmente, a aceleração resultante ( a = raizatang^2 + arad^2 = raiz(1,5)^2 + (3,77)^2 approx raiz2,25 + 14,21 approx raiz16,46 approx 4,06 , m/s^2 ) é a combinação das acelerações tangencial e radial. Usamos o teorema de Pitágoras para somar essas acelerações vetorialmente:

Resposta

O módulo da aceleração resultante de um ponto na borda do disco após rotações é .

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