Durante a expansão reversível de uma quantidade fixa de um gás ideal, cada incremento de calor é dado pela expressão d q=CV d T+(n R T / V) d V
Uma condição necessária e suficiente para que esta expressão seja uma diferencial exata é que a relação de reciprocidade deve ser satisfeita para as variáveis independentes T e V.
Aplique este teste para mostrar que a expressão não é uma diferencial exata e que o calor, portanto, não é uma função de estado

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre termodinâmica, mais especificamente sobre gases ideais e a diferença entre calor como função de estado ou não. O enunciado diz que durante a expansão reversível de um gás ideal, o incremento de calor é dado por:
d q = CV d T + ( n R TV ) d V
Nos querem mostrar que essa expressão não é uma diferencial exata, ou seja, que o calor não é uma função de estado. Para isso, vamos usar o teste da relação de reciprocidade entre as variáveis independentes T (temperatura) e V (volume).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferencial exata. Uma função partial Mpartial V = partial Npartial T é uma diferencial exata se ela pode ser expressa como a derivada total de uma função de estado. Para verificar isso, usamos a condição de exatidão ou relação de reciprocidade, que diz:
M = CV
onde N = n R TV e são as funções que multiplicam e na expressão de , respectivamente.
No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de reciprocidade.
Primeiro, calculamos partial Mpartial V = partial CVpartial V = 0 :
Como é a capacidade calorífica a volume constante, para um gás ideal monoatômico, é uma constante. Porém, se o problema não especifica o tipo de gás, podemos considerar que é uma constante de mol.
Então:
Porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular N = n R TV :
Temos:
partial Npartial T = n RV
Então, derivando em relação a T:

Passo 5

Vamos comparar as duas derivadas:
partial Mpartial V = 0
partial Npartial T = n RV
Claramente, a menos que , o que não faz sentido físico no contexto.

Passo 6

Como , a condição de exatidão não é satisfeita. Isso significa que não é uma diferencial exata, ou seja, o calor não é uma função de estado.

Resposta

A expressão para o incremento de calor não é uma diferencial exata, demonstrando que o calor não é uma função de estado.

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