Durante a expansão reversível de uma quantidade fixa de um gás ideal, cada incremento de calor é dado pela expressão
Uma condição necessária e suficiente para que esta expressão seja uma diferencial exata é que a relação de reciprocidade deve ser satisfeita para as variáveis independentes T e V.
Aplique este teste para mostrar que a expressão não é uma diferencial exata e que o calor, portanto, não é uma função de estado
Uma condição necessária e suficiente para que esta expressão seja uma diferencial exata é que a relação de reciprocidade deve ser satisfeita para as variáveis independentes T e V.
Aplique este teste para mostrar que a expressão não é uma diferencial exata e que o calor, portanto, não é uma função de estado
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre termodinâmica, mais especificamente sobre gases ideais e a diferença entre calor como função de estado ou não. O enunciado diz que durante a expansão reversível de um gás ideal, o incremento de calor é dado por:
Nos querem mostrar que essa expressão não é uma diferencial exata, ou seja, que o calor não é uma função de estado. Para isso, vamos usar o teste da relação de reciprocidade entre as variáveis independentes T (temperatura) e V (volume).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferencial exata. Uma função
é uma diferencial exata se ela pode ser expressa como a derivada total de uma função de estado. Para verificar isso, usamos a condição de exatidão ou relação de reciprocidade, que diz:
onde
e
são as funções que multiplicam
e
na expressão de
, respectivamente.
No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de reciprocidade.
Primeiro, calculamos
:
Como
é a capacidade calorífica a volume constante, para um gás ideal monoatômico,
é uma constante. Porém, se o problema não especifica o tipo de gás, podemos considerar que
é uma constante de mol.
Então:
Porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Temos:
Então, derivando em relação a T:
Passo 5
Vamos comparar as duas derivadas:
Claramente,
a menos que
, o que não faz sentido físico no contexto.
Passo 6
Como
, a condição de exatidão não é satisfeita. Isso significa que
não é uma diferencial exata, ou seja, o calor
não é uma função de estado.
Resposta
A expressão para o incremento de calor
não é uma diferencial exata, demonstrando que o calor não é uma função de estado.