Um disco uniforme, de raio R, massa M e momento de inércia I=M R^2 / 2 está montado em um eixo suportado por mancais fixos e sem atrito. Enrola-se uma corda leve em torno da borda e suspenda um corpo de massa m, para o corpo se mover.
a) Determine a aceleração angular do disco

Passo 1

Beleza, vamos lá! Aqui temos um disco com raio , massa e momento de inércia . Esse disco está montado em um eixo sem atrito, e uma corda está enrolada na borda do disco com um corpo de massa pendurado nela. Nosso objetivo é descobrir qual é a aceleração angular desse disco quando o corpo começa a se mover. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de torque e momento de inércia da rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está causando a rotação do disco. A massa tau = F times R = m g R que está pendurada exerce uma força gravitacional sobre a corda, que é , onde é a aceleração da gravidade. Essa força gera um torque no disco, que é a força multiplicada pela distância até o ponto de rotação (que, nesse caso, é o raio do disco). Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos relacionar esse torque com a aceleração angular tau = I alpha usando a segunda lei de Newton para a rotação. A segunda lei nos diz que o torque total é igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular :

Passo 4

Sabemos que o momento de inércia do disco é m g R = M R^22 alpha . Substituindo esse valor na equação do torque, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar alpha = 2 m g RM R^2 = 2 m gM R . Primeiro, dividimos ambos os lados por :

Resposta

A aceleração angular do disco é .

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