O movimento de um ponto é descrito pelas três equações escalares de um sistema cartesiano ortogonal Oxyz:
x=2+cos t y=raiz22(2+sin t) z=4-raiz22(2+sin t)
Pedem-se:
a) Os vetores velocidade v e aceleração a, as componentes intrínsecas da velocidade (v) e da aceleração (at, an) e o raio de curvatura rho da trajetória;
b) Mostrar que o movimento é plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta o movimento de um ponto através de três equações que descrevem as posições , e em função do tempo . O conteúdo envolvido aqui é cinemática vetorial, onde vamos trabalhar com vetores de velocidade e aceleração, componentes intrínsecas desses vetores, e o raio de curvatura da trajetória. Para resolver isso, vamos precisar derivar as funções de posição para encontrar velocidade e aceleração, entender componentes tangenciais e normais, e aplicar a fórmula do raio de curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade v = ( dxdt, dydt, dzdt ) . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada uma das equações de dxdt = -sin t , dydt = raiz22 cos t e dzdt = -raiz22 cos t em relação a v = ( -sin t, raiz22 cos t, -raiz22 cos t ) .
Vamos derivar cada componente:
Então, o vetor velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração a = ( d^2xdt^2, d^2ydt^2, d^2zdt^2 ) . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente do vetor velocidade:
d^2xdt^2 = -cos t
Derivando cada componente da velocidade:
d^2ydt^2 = -raiz22 sin t
d^2zdt^2 = raiz22 sin t
a = ( -cos t, -raiz22 sin t, raiz22 sin t )
Então, o vetor aceleração fica:

Passo 4

Vamos agora calcular as componentes intrínsecas da velocidade e aceleração: a velocidade escalar v = |v| = raiz (-sin t)^2 + ( raiz22 cos t )^2 + ( -raiz22 cos t )^2 , e as componentes tangencial v = raiz sin^2 t + 24 cos^2 t + 24 cos^2 t = raiz sin^2 t + cos^2 t2 + cos^2 t2 = raiz sin^2 t + cos^2 t = 1 e normal da aceleração. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Simplificando:
Então, a velocidade escalar é constante e igual a 1.

Passo 5

Para encontrar a componente tangencial da aceleração at = dvdt , usamos a derivada da velocidade escalar:
at = 0
Como an = |v times a|v , a derivada é:
an = |v times a|
A componente normal da aceleração v times a = i & j & k -sin t & raiz22 cos t & -raiz22 cos t -cos t & -raiz22 sin t & raiz22 sin t é dada por:
v times a = i ( raiz22 cos t cdot raiz22 sin t - (-raiz22 cos t)(-raiz22 sin t) ) - j ( -sin t cdot raiz22 sin t - (-raiz22 cos t)(-cos t) ) + k ( -sin t cdot (-raiz22 sin t) - raiz22 cos t cdot (-cos t) )
Como v times a = i ( 24 cos t sin t - 24 cos t sin t ) - j ( -raiz22 sin^2 t - raiz22 cos^2 t ) + k ( raiz22 sin^2 t + raiz22 cos^2 t ) , fica:
v times a = i (0) - j ( -raiz22 (sin^2 t + cos^2 t) ) + k ( raiz22 (sin^2 t + cos^2 t) )
Vamos calcular o produto vetorial v times a = 0 i + raiz22 j + raiz22 k :
an = raiz0^2 + (raiz22)^2 + (raiz22)^2 = raiz0 + 24 + 24 = raiz1 = 1
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Isso resulta em:
Como :
A magnitude é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o raio de curvatura rho = v^3an . A fórmula para o raio de curvatura é:
rho = 1^31 = 1
Como e :

Passo 7

Passando para a parte b, precisamos mostrar que o movimento é plano. Para isso, vamos verificar se as coordenadas y = raiz22(2 + sin t) e z = 4 - raiz22(2 + sin t) estão relacionadas de forma que não dependem de z = 4 - y , ou seja, se podemos escrever uma relação entre e independente de .
Observamos as equações de e :
Podemos notar que é expresso em função de :
Isso mostra que há uma relação linear entre e , ou seja, para todo ponto no movimento, depende diretamente de de forma linear. Portanto, o movimento ocorre em um plano.

Resposta

a) O vetor velocidade é , o vetor aceleração é . As componentes intrínsecas são , , , e o raio de curvatura é .
b) O movimento é plano porque existe uma relação linear entre e , especificamente , indicando que todos os pontos do movimento estão em um mesmo plano.

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