O movimento de um ponto é descrito pelas três equações escalares de um sistema cartesiano ortogonal Oxyz:
Pedem-se:
a) Os vetores velocidade e aceleração , as componentes intrínsecas da velocidade (v) e da aceleração e o raio de curvatura da trajetória;
b) Mostrar que o movimento é plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta o movimento de um ponto através de três equações que descrevem as posições , e em função do tempo . O conteúdo envolvido aqui é cinemática vetorial, onde vamos trabalhar com vetores de velocidade e aceleração, componentes intrínsecas desses vetores, e o raio de curvatura da trajetória. Para resolver isso, vamos precisar derivar as funções de posição para encontrar velocidade e aceleração, entender componentes tangenciais e normais, e aplicar a fórmula do raio de curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada uma das equações de , e em relação a .
Vamos derivar cada componente:
Então, o vetor velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente do vetor velocidade:
Derivando cada componente da velocidade:
Então, o vetor aceleração fica:

Passo 4

Vamos agora calcular as componentes intrínsecas da velocidade e aceleração: a velocidade escalar , e as componentes tangencial e normal da aceleração. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Simplificando:
Então, a velocidade escalar é constante e igual a 1.

Passo 5

Para encontrar a componente tangencial da aceleração , usamos a derivada da velocidade escalar:
Como , a derivada é:
A componente normal da aceleração é dada por:
Como , fica:
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Isso resulta em:
Como :
A magnitude é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o raio de curvatura . A fórmula para o raio de curvatura é:
Como e :

Passo 7

Passando para a parte b, precisamos mostrar que o movimento é plano. Para isso, vamos verificar se as coordenadas e estão relacionadas de forma que não dependem de , ou seja, se podemos escrever uma relação entre e independente de .
Observamos as equações de e :
Podemos notar que é expresso em função de :
Isso mostra que há uma relação linear entre e , ou seja, para todo ponto no movimento, depende diretamente de de forma linear. Portanto, o movimento ocorre em um plano.

Resposta

a) O vetor velocidade é , o vetor aceleração é . As componentes intrínsecas são , , , e o raio de curvatura é .
b) O movimento é plano porque existe uma relação linear entre e , especificamente , indicando que todos os pontos do movimento estão em um mesmo plano.

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O mecanismo plano de quatro barras é constituído por barras com dimensões: . As barras estão articuladas em conforme a figura. O disco de raio e centro G rola sem escorregar sobre a barra BC com velocidade angular constante . O ângulo entre as barras AB e AD segue a lei horária , para constante. No instante mostrado na figura, o ponto E de contato está situado na metade da barra e o ponto está na periferia do disco e na vertical definida pelos pontos E e G. Para este instante, usando a base fornecida, pedem-se:
a) A velocidade do ponto E ;
b) A velocidade do ponto ;
c) A aceleração do ponto E pertencente ao disco.
No instante em que , determine:
d) O vetor posição ( ) do centro instantâneo de rotação I do disco.
O sistema indicado move-se no plano Oxy. A barra OA gira em torno de O, de maneira que , constante). No ponto A as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo Oy. Pedem-se:
a) O vetor posição ( ) do centro instantâneo de rotação I da barra ;
b) A velocidade de B e a velocidade de ;
c) O vetor rotação da ;
d) A velocidade do ponto médio da barra AB ;
e) Os valores máximo e mínimo de , indicando para quais valores de eles ocorrem.
Obs.:
i) Admitir que o sistema possibilita ;
ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base ;
iii) Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável .
Os discos indicados (de raios e ) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante, o vetor rotação do disco de centro é . Nesse instante, a barra AB , cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual estão alinhados. Pedem-se nesse instante, em função das constantes e , expressando os vetores na base :
a) As velocidades e dos pontos e , respectivamente;
b) O vetor rotação do disco de centro .
Um ponto move-se, em relação a um sistema cartesiano ortogonal Oxyz segundo as equações:
Pedem-se, em função de :
a) As expressões dos vetores velocidade ( ) e aceleração ( do ponto P e do respectivo triedro de Frenet em termos de suas componentes na base ;
b) As componentes intrínsecas da velocidade e da aceleração e e o raio de curvatura da trajetória;