Seja
uma função que é contínua em 0 e tal que
para todo
. Mostre que
é contínua em todo ponto
.
Passo 1
Então, temos uma função
que é contínua em 0 e satisfaz a condição
para todo
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função
é contínua em qualquer ponto
da reta real. Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e propriedades de funções que obedecem a esse tipo de equação funcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que
é contínua em
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
Passo 3
Sabemos que
é contínua em 0, ou seja,
. Além disso, pela condição dada,
. Isso implica que
é 0 ou 1. Vamos ver qual desses valores faz sentido para manter a condição de continuidade.
Passo 4
Vamos analisar
. Se
, então para qualquer
, temos
. Ou seja,
para todo
, que é uma função trivialmente contínua em todos os pontos. Portanto, nesse caso, nossa afirmação já estaria provada.
Passo 5
Agora, consideremos o caso em que
. Queremos mostrar que
é contínua em qualquer ponto
. Sabemos que
e que
, então
, assumindo que
.
Passo 6
Para provar a continuidade em
, vamos considerar
. Podemos reescrever
como
, onde
. Então:
Como
é contínua em 0,
. Portanto:
Passo 7
Isso mostra que
, o que é exatamente a definição de continuidade em
. Portanto,
é contínua em todo ponto
.
Resposta
Assim, demonstramos que a função
é contínua em todo ponto
da reta real.