Seja f: R -> R uma função que é contínua em 0 e tal que f(x+y) = f(x) * f(y) para todo x, y em R. Mostre que f é contínua em todo ponto a in R.

Passo 1

Então, temos uma função que é contínua em 0 e satisfaz a condição para todo . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função é contínua em qualquer ponto da reta real. Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e propriedades de funções que obedecem a esse tipo de equação funcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se, para todo , existe um tal que, sempre que , então .

Passo 3

Sabemos que é contínua em 0, ou seja, . Além disso, pela condição dada, . Isso implica que é 0 ou 1. Vamos ver qual desses valores faz sentido para manter a condição de continuidade.

Passo 4

Vamos analisar . Se , então para qualquer , temos . Ou seja, para todo , que é uma função trivialmente contínua em todos os pontos. Portanto, nesse caso, nossa afirmação já estaria provada.

Passo 5

Agora, consideremos o caso em que . Queremos mostrar que é contínua em qualquer ponto . Sabemos que e que , então , assumindo que .

Passo 6

Para provar a continuidade em , vamos considerar . Podemos reescrever como , onde . Então:
Como é contínua em 0, . Portanto:

Passo 7

Isso mostra que , o que é exatamente a definição de continuidade em . Portanto, é contínua em todo ponto .

Resposta

Assim, demonstramos que a função é contínua em todo ponto da reta real.

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