Obtenha uma base ortogonal para o espaço
com 0 produto interno
, que contenha o vetor
. Normalize a base encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o espaço
usando o produto interno padrão, que inclui o vetor
. Depois, vamos normalizar essa base, ou seja, fazer com que todos os vetores tenham comprimento igual a 1. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar um conjunto de vetores em uma base ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar nosso vetor dado de
. Esse será o primeiro vetor da nossa base.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um segundo vetor que seja ortogonal a
. Vamos escolher um vetor qualquer que não seja múltiplo de
. Por exemplo, vamos tomar
.
Passo 4
Para garantir que
seja ortogonal a
, usamos a fórmula de projeção. Calculamos a projeção de
em
:
Primeiro, calculamos
.
Depois,
.
Então,
Passo 5
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter um vetor ortogonal a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar um terceiro vetor que seja ortogonal tanto a
quanto a
. Podemos escolher
.
Passo 7
Aplicamos novamente o processo de Gram-Schmidt para garantir a ortogonalidade. Primeiro, projetamos
em
:
Calculando
.
Então,
Subtraímos essa projeção de
:
Passo 8
Agora, precisamos garantir que
seja ortogonal a
. Calculamos a projeção de
em
:
Primeiro,
.
Calculando:
E
.
Então,
Simplificando:
Subtraindo a projeção de
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos nossos três vetores ortogonais:
Passo 10
Finalmente, vamos normalizar cada vetor para que tenham comprimento igual a 1. A normalização de um vetor
é dada por:
Calculando as normas:
Então, os vetores normalizados são:
Resposta
A base ortogonal normalizada para
que contém o vetor
é: