Obtenha uma base ortogonal para o espaço R^3 com 0 produto interno ⟨(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)⟩ = x1*y1 + x2*y2 + x3*y3, que contenha o vetor (1, 2, 3). Normalize a base encontrada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o espaço usando o produto interno padrão, que inclui o vetor . Depois, vamos normalizar essa base, ou seja, fazer com que todos os vetores tenham comprimento igual a 1. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar um conjunto de vetores em uma base ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar nosso vetor dado de . Esse será o primeiro vetor da nossa base.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um segundo vetor que seja ortogonal a . Vamos escolher um vetor qualquer que não seja múltiplo de . Por exemplo, vamos tomar .

Passo 4

Para garantir que seja ortogonal a , usamos a fórmula de projeção. Calculamos a projeção de em :
Primeiro, calculamos .
Depois, .
Então,

Passo 5

Agora, subtraímos essa projeção de para obter um vetor ortogonal a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar um terceiro vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Podemos escolher .

Passo 7

Aplicamos novamente o processo de Gram-Schmidt para garantir a ortogonalidade. Primeiro, projetamos em :
Calculando .
Então,
Subtraímos essa projeção de :

Passo 8

Agora, precisamos garantir que seja ortogonal a . Calculamos a projeção de em :
Primeiro, .
Calculando:
E .
Então,
Simplificando:
Subtraindo a projeção de :
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos nossos três vetores ortogonais:

Passo 10

Finalmente, vamos normalizar cada vetor para que tenham comprimento igual a 1. A normalização de um vetor é dada por:
Calculando as normas:
Então, os vetores normalizados são:

Resposta

A base ortogonal normalizada para que contém o vetor é:

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