(2 pontos) Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, encontre o valor de lim x infty(xx+3)^x / 6
Dica: Faça uma manipulação algébrica e uma mudança de variável.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o limite:
lim x infty(xx+3)^x6
A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, especialmente limites que envolvem exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão algébrica e fazer uma mudança de variável, utilizando o conhecimento de que:
lim x infty(1+1x)^x=e

Passo 2

Vamos começar simplificando a fração dentro do limite:
xx+3 = xx(1 + 3x) = 11 + 3x
Então, nosso limite fica:
lim x infty(11 + 3x)^x6

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão para facilitar a comparação com a forma conhecida que envolve (11 + 3x)^x6 = (1 + 3x)^-x6 . Podemos inverter a base e o expoente:

Passo 4

Para relacionar com o limite conhecido, fazemos uma mudança de variável. Vamos definir (1 + 3x)^-x6 = (1 + 1n)^-n cdot 36 = (1 + 1n)^-n2 , então quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Substituindo, temos:

Passo 5

Agora, usamos o limite conhecido:
lim n infty(1+1n)^n = e
No nosso caso, temos:
(1 + 1n)^-n2 = [(1 + 1n)^n]^-12

Passo 6

Aplicando o limite, sabemos que [(1 + 1n)^n]^-12 e^-12 tende a . Portanto:

Resposta

O valor do limite é .

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