Sejam A^-1=(ll1 & 3 0 & 1) e B=(cc-1 & 0 2 & -1). Determine, se possível, a matriz X tal que (A^t cdot X)^-1=(B^-1)^-1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas matrizes, (A^t cdot X)^-1 = (B^-1)^-1 e , e precisa encontrar uma matriz que satisfaça a equação:
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes inversas, transpostas e como manipular essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que (A^t cdot X)^-1 = B é igual a . Isso porque a inversa da inversa de uma matriz nos retorna a matriz original. Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, para desvendar essa equação, vamos inverter ambos os lados. Lembrando que a inversa da inversa traz de volta a matriz original, temos:
A^t cdot X = B^-1
Assim, nosso objetivo é encontrar .

Passo 4

Para isolar X = (A^t)^-1 cdot B^-1 , vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de , ou seja, . Assim:
Agora precisamos encontrar a partir de .

Passo 5

Sabemos que 1 & 3 0 & 1 . Para encontrar a & b c & d , basta calcular a inversa dessa matriz. A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 1ad - bc d & -b -c & a é:
A = (A^-1)^-1 = 1 & -3 0 & 1
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a transposta de A^t = 1 & 0 -3 & 1 , que é . A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas:

Passo 7

Precisamos da inversa de (A^t)^-1 = 1 & 0 3 & 1 , ou seja, . Usando a mesma fórmula de antes:

Passo 8

Agora, vamos calcular B = -1 & 0 2 & -1 . Dada a matriz B^-1 = -1 & 0 -2 & -1 :
A inversa de é:

Passo 9

Finalmente, substituímos tudo na expressão para X = (A^t)^-1 cdot B^-1 = 1 & 0 3 & 1 cdot -1 & 0 -2 & -1 :
X = (1)(-1) + (0)(-2) & (1)(0) + (0)(-1) (3)(-1) + (1)(-2) & (3)(0) + (1)(-1) = -1 & 0 -5 & -1
Fazendo a multiplicação das matrizes:

Resposta

A matriz X = -1 & 0 -5 & -1 que satisfaz a equação dada é:

Exercícios relacionados