Sejam e . Determine, se possível, a matriz tal que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas matrizes, e , e precisa encontrar uma matriz que satisfaça a equação:
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes inversas, transpostas e como manipular essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que é igual a . Isso porque a inversa da inversa de uma matriz nos retorna a matriz original. Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, para desvendar essa equação, vamos inverter ambos os lados. Lembrando que a inversa da inversa traz de volta a matriz original, temos:
Assim, nosso objetivo é encontrar .

Passo 4

Para isolar , vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de , ou seja, . Assim:
Agora precisamos encontrar a partir de .

Passo 5

Sabemos que . Para encontrar , basta calcular a inversa dessa matriz. A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a transposta de , que é . A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas:

Passo 7

Precisamos da inversa de , ou seja, . Usando a mesma fórmula de antes:

Passo 8

Agora, vamos calcular . Dada a matriz :
A inversa de é:

Passo 9

Finalmente, substituímos tudo na expressão para :
Fazendo a multiplicação das matrizes:

Resposta

A matriz que satisfaz a equação dada é:

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Determine o produto para que se tenha .
Prove que .
Discuta em função de os seguintes sistemas lineares:
a)
b)
c)