Sejam
e
. Determine, se possível, a matriz
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas matrizes,
e
, e precisa encontrar uma matriz
que satisfaça a equação:
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes inversas, transpostas e como manipular essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que
é igual a
. Isso porque a inversa da inversa de uma matriz nos retorna a matriz original. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, para desvendar essa equação, vamos inverter ambos os lados. Lembrando que a inversa da inversa traz de volta a matriz original, temos:
Assim, nosso objetivo é encontrar
.
Passo 4
Para isolar
, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de
, ou seja,
. Assim:
Agora precisamos encontrar
a partir de
.
Passo 5
Sabemos que
. Para encontrar
, basta calcular a inversa dessa matriz. A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2
é:
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a transposta de
, que é
. A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas:
Passo 7
Precisamos da inversa de
, ou seja,
. Usando a mesma fórmula de antes:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Dada a matriz
:
A inversa de
é:
Passo 9
Finalmente, substituímos tudo na expressão para
:
Fazendo a multiplicação das matrizes:
Resposta
A matriz
que satisfaz a equação dada é: