Resolva o sistema
, usando inversão de matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver um sistema de equações lineares usando a inversão de matrizes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar montar as matrizes que representam o sistema e calcular a inversa da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial
A = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8 , x = x y z , b = 5 3 17 , onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz
det(A) = 1 cdot (5 cdot 8 - 3 cdot 0) - 2 cdot (2 cdot 8 - 3 cdot 1) + 3 cdot (2 cdot 0 - 5 cdot 1) = 1 cdot 40 - 2 cdot 13 + 3 cdot (-5) = 40 - 26 - 15 = -1 , que chamamos de
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) . A matriz inversa só existe se o determinante de
A^-1 = -1 cdot 5 cdot 8 - 3 cdot 0 & -(2 cdot 8 - 3 cdot 1) & 2 cdot 0 - 5 cdot 1 -(2 cdot 8 - 3 cdot 1) & 1 cdot 8 - 3 cdot 1 & -(1 cdot 0 - 2 cdot 1) 2 cdot 3 - 5 cdot 1 & -(1 cdot 3 - 2 cdot 1) & 1 cdot 5 - 2 cdot 2 = 40 & -13 & -5 -13 & 5 & 2 1 & -1 & 1 for diferente de zero. Vamos calcular o determinante:
Como o determinante é
, a matriz inversa existe. Vamos calcular
:
Calculando a adjunta de
e dividindo pelo determinante:
Passo 4
Agora que temos
x = A^-1 cdot b = 40 & -13 & -5 -13 & 5 & 2 1 & -1 & 1 cdot 5 3 17 , podemos encontrar
x = 40 cdot 5 + (-13) cdot 3 + (-5) cdot 17 = 200 - 39 - 85 = 76 multiplicando
y = -13 cdot 5 + 5 cdot 3 + 2 cdot 17 = -65 + 15 + 34 = -16 por
z = 1 cdot 5 + (-1) cdot 3 + 1 cdot 17 = 5 - 3 + 17 = 19 :
Vamos fazer as multiplicações:
Resposta
As soluções do sistema são: