Sejam subespaços vetoriais de . Determine uma base e a dimensão dos subespaços e . e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão nos pede para determinar uma base e a dimensão dos subespaços , , e dentro de . Para isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços vetoriais, base e dimensão. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o subespaço . Ele é definido pelas equações:
Essas equações nos dizem como as coordenadas , e estão relacionadas dentro de .
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para expressar e em termos de :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso significa que é gerado pelo vetor .
Passo 4
Então, a base de é e, como temos apenas um vetor na base, a dimensão de é 1.
Passo 5
Agora, vamos analisar o subespaço , que é gerado pelos vetores e :
Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes para determinar a base e a dimensão de .
Passo 6
Vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante:
Como temos mais linhas que colunas, vamos verificar se existe uma combinação não trivial que zere os vetores:
a cdot (1, -1, 2) + b cdot (2, 1, 1) = (0, 0, 0)
Resolvendo:
a + 2b = 0 - a + b = 0 2a + b = 0
A única solução é e , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Portanto, a base de é e a dimensão de é 2.
Passo 8
Agora, vamos encontrar U + V = u + v mid u in U, v in V , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
Como tem dimensão 1 e tem dimensão 2, normalmente teria dimensão , a não ser que esteja contido em .
Passo 9
Vamos verificar se há sobreposição entre e . Se não houver, então a dimensão de será 3, o que significa que .
Passo 10
Finalmente, para encontrar , que é o conjunto de vetores comuns a e , precisamos resolver o sistema das equações que definem e verificar quais combinações lineares dos vetores de também satisfazem essas equações.