Sejam U, V subespaços vetoriais de R^3. Determine uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U+V e U cap V.
U=(x, y, z) ; x+y=0 e 4 x-z=0, V=[(1,-1,2),(2,1,1)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão nos pede para determinar uma base e a dimensão dos subespaços , , e dentro de . Para isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços vetoriais, base e dimensão. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço x + y = 0 4x - z = 0 . Ele é definido pelas equações:
Essas equações nos dizem como as coordenadas , e estão relacionadas dentro de .

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para expressar y = -x z = 4x e (x, y, z) = ( x, -x, 4x ) = x cdot (1, -1, 4) em termos de :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso significa que é gerado pelo vetor .

Passo 4

Então, a base de é e, como temos apenas um vetor na base, a dimensão de é 1.

Passo 5

Agora, vamos analisar o subespaço V = span (1, -1, 2), (2, 1, 1) , que é gerado pelos vetores e :
Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes para determinar a base e a dimensão de .

Passo 6

Vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante:
1 & 2 -1 & 1 2 & 1
Como temos mais linhas que colunas, vamos verificar se existe uma combinação não trivial que zere os vetores:
a cdot (1, -1, 2) + b cdot (2, 1, 1) = (0, 0, 0)
Resolvendo:
a + 2b = 0 - a + b = 0 2a + b = 0
A única solução é e , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Portanto, a base de é e a dimensão de é 2.

Passo 8

Agora, vamos encontrar U + V = u + v mid u in U, v in V , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
Como tem dimensão 1 e tem dimensão 2, normalmente teria dimensão , a não ser que esteja contido em .

Passo 9

Vamos verificar se há sobreposição entre e . Se não houver, então a dimensão de será 3, o que significa que .

Passo 10

Finalmente, para encontrar , que é o conjunto de vetores comuns a e , precisamos resolver o sistema das equações que definem e verificar quais combinações lineares dos vetores de também satisfazem essas equações.

Resposta

  • Base e dimensão de : , dimensão 1.
  • Base e dimensão de : , dimensão 2.
  • Base e dimensão de : Base , dimensão 3.
  • Base e dimensão de : , dimensão 1.

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