Discuta e resolva os seguintes sistemas lineares: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas , e , e um parâmetro . O sistema é:
Vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a regra de Cramer ou a eliminação de Gauss. Também vamos utilizar determinantes de matrizes para resolver esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial , onde:
Aqui, é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.
Passo 3
Para resolver o sistema usando a regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz . O determinante de uma matriz é dado por:
Vamos calcular passo a passo:
Passo 4
Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante não pode ser zero. Então, verificamos quando :
Fatorando a equação:
Continuando a fatoração:
Então, os valores que anulam o determinante são (com multiplicidade 2) e . Para esses valores de , o sistema pode não ter solução única.
Passo 5
Assumindo que e , podemos prosseguir usando a regra de Cramer. Vamos encontrar as soluções para , e utilizando os determinantes das matrizes , e , onde cada uma é obtida substituindo a coluna correspondente por .
Primeiro, definimos :
Calculamos :
Passo 6
Agora, calculamos usando a regra de Cramer:
Simplificando:
Passo 7
De forma similar, definimos substituindo a segunda coluna de por :
Calculamos :
Então,
Passo 8
Por último, definimos substituindo a terceira coluna de por :