Discuta e resolva os seguintes sistemas lineares:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas , e , e um parâmetro . O sistema é:
Vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a regra de Cramer ou a eliminação de Gauss. Também vamos utilizar determinantes de matrizes para resolver esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial , onde:
Aqui, é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Para resolver o sistema usando a regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz . O determinante de uma matriz é dado por:
Vamos calcular passo a passo:

Passo 4

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante não pode ser zero. Então, verificamos quando :
Fatorando a equação:
Continuando a fatoração:
Então, os valores que anulam o determinante são (com multiplicidade 2) e . Para esses valores de , o sistema pode não ter solução única.

Passo 5

Assumindo que e , podemos prosseguir usando a regra de Cramer. Vamos encontrar as soluções para , e utilizando os determinantes das matrizes , e , onde cada uma é obtida substituindo a coluna correspondente por .
Primeiro, definimos :
Calculamos :

Passo 6

Agora, calculamos usando a regra de Cramer:
Simplificando:

Passo 7

De forma similar, definimos substituindo a segunda coluna de por :
Calculamos :
Então,

Passo 8

Por último, definimos substituindo a terceira coluna de por :
Calculamos :
Então,
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:
Desde que e .

Exercícios relacionados

Mostre que .
Classifique os sistemas abaixo e resolva apenas os possíveis e determinandos:
Dados , qual o quadrado do módulo da resultante ?
Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando a regra de Cramer:
.