Discuta e resolva os seguintes sistemas lineares:
lm x+y+z=1 x+m y+z=m x+y+m z=-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas m x + y + z = 1 x + m y + z = m x + y + m z = -2 , e , e um parâmetro . O sistema é:
Vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a regra de Cramer ou a eliminação de Gauss. Também vamos utilizar determinantes de matrizes para resolver esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = m & 1 & 1 1 & m & 1 1 & 1 & m , x = x y z , b = 1 m -2 , onde:
Aqui, é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Para resolver o sistema usando a regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz det(A) = m(m cdot m - 1 cdot 1) - 1(1 cdot m - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - m cdot 1) . O determinante de uma matriz det(A) = m(m^2 - 1) - 1(m - 1) + 1(1 - m) é dado por:
det(A) = m^3 - m - m + 1 + 1 - m
Vamos calcular passo a passo:
det(A) = m^3 - 3m + 2

Passo 4

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante m^3 - 3m + 2 = 0 não pode ser zero. Então, verificamos quando (m - 1)(m^2 + m - 2) = 0 :
(m - 1)(m + 2)(m - 1) = 0
Fatorando a equação:
Continuando a fatoração:
Então, os valores que anulam o determinante são (com multiplicidade 2) e . Para esses valores de , o sistema pode não ter solução única.

Passo 5

Assumindo que Ax = 1 & 1 & 1 m & m & 1 -2 & 1 & m e det(Ax) = 1(m cdot m - 1 cdot 1) - 1(m cdot m - (-2) cdot 1) + 1(m cdot 1 - m cdot (-2)) , podemos prosseguir usando a regra de Cramer. Vamos encontrar as soluções para det(Ax) = 1(m^2 - 1) - 1(m^2 + 2) + 1(m + 2m) , det(Ax) = m^2 - 1 - m^2 - 2 + 3m e det(Ax) = 3m - 3 utilizando os determinantes das matrizes , e , onde cada uma é obtida substituindo a coluna correspondente por .
Primeiro, definimos :
Calculamos :

Passo 6

Agora, calculamos x = det(Ax)det(A) = 3m - 3m^3 - 3m + 2 usando a regra de Cramer:
x = 3(m - 1)(m - 1)^2(m + 2)
Simplificando:
x = 3(m - 1)(m + 2)

Passo 7

De forma similar, definimos Ay = m & 1 & 1 1 & m & 1 1 & -2 & m substituindo a segunda coluna de det(Ay) = m(m cdot m - 1 cdot (-2)) - 1(1 cdot m - 1 cdot 1) + 1(1 cdot (-2) - m cdot 1) por det(Ay) = m(m^2 + 2) - 1(m - 1) + 1(-2 - m) :
det(Ay) = m^3 + 2m - m + 1 - 2 - m
Calculamos det(Ay) = m^3 - 3m -1 :
y = det(Ay)det(A) = m^3 - 3m -1m^3 - 3m + 2
Então,

Passo 8

Por último, definimos Az = m & 1 & 1 1 & m & m 1 & 1 & -2 substituindo a terceira coluna de det(Az) = m(m cdot (-2) - m cdot 1) - 1(1 cdot (-2) - m cdot 1) + 1(1 cdot 1 - m cdot 1) por det(Az) = m(-2m - m) - 1(-2 - m) + 1(1 - m) :
det(Az) = m(-3m) + 2 + m + 1 - m
Calculamos det(Az) = -3m^2 + 2 +1 :
det(Az) = -3m^2 +3
z = det(Az)det(A) = -3m^2 +3m^3 - 3m + 2 = -3(m^2 -1)(m -1)^2(m +2) = -3(m -1)(m +1)(m -1)^2(m +2)
z = -3(m +1)(m -1)(m +2)
Então,
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 3(m - 1)(m + 2), y = m^3 - 3m -1m^3 - 3m + 2, z = -3(m +1)(m -1)(m +2)
Desde que e .

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