Mostre que (x+i y)^n(x-i y)^n=(x^2+y^2)^n.

Passo 1

Beleza, vamos mostrar que . Aqui, estamos lidando com números complexos e propriedades de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade de números complexos conjugados e como eles se comportam quando multiplicados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão . Note que e são números complexos conjugados. Quando multiplicamos dois números complexos conjugados, o resultado é sempre um número real.

Passo 3

Vamos multiplicar as duas expressões juntas:
(x + i y)^n(x - i y)^n = [(x + i y)(x - i y)]^n
Aqui, usamos a propriedade de que .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar (x + i y)(x - i y) = x^2 - (i y)^2 por :
Lembre-se que .

Passo 5

Simplificando a expressão:
x^2 - (i y)^2 = x^2 - (-y^2) = x^2 + y^2
Então, .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
[(x + i y)(x - i y)]^n = (x^2 + y^2)^n

Resposta

Portanto, mostramos que .

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