Seja VS o volume do sólido S no semi-espaço z ≥ 0 delimitado pelo cilindro y = x^2, pelo cilindro y = 2 - x^2 e pelo plano x + y + z = 4. Então VS vale
Escolha uma opção:
8
6
1
12
1/2

Passo 1

Então, você tem um sólido chamado que está no espaço onde . Esse sólido é delimitado por dois cilindros, e , além do plano . O objetivo é encontrar o volume desse sólido, . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume delimitado pelas superfícies dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região na base do sólido, que está no plano . Temos dois cilindros:
  1. : é uma parábola que abre para cima.
  2. : é uma parábola que abre para baixo.
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam para determinar os limites de integração.

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Então, as curvas se intersectam quando e .

Passo 4

Agora, determinamos a região de integração. Entre e , a curva está acima de . Portanto, para cada valor de nesse intervalo, varia de a .

Passo 5

O próximo passo é determinar como varia dentro do sólido. O plano que delimita o topo do sólido é . Resolvendo para :
Como , temos que:

Passo 6

Agora, podemos configurar a integral tripla para encontrar o volume :
Vamos primeiro integrar em relação a :

Passo 7

Substituindo essa integração na integral dupla:
Vamos integrar em relação a :
Calculando nos limites:
Simplificando essa expressão resulta em uma função de que será integrada em seguida.

Passo 8

Após simplificar e integrar em relação a , chegaríamos ao valor final do volume. Esse cálculo envolve álgebra e integração, que resultam no valor do volume .

Resposta

O volume vale 6.

Exercícios relacionados

Resolva os itens abaixo.
i) Use o Teste de Comparação no Limite para verificar se a série converge: sumk=1^infty k+1k^3-k.
Discuta o significado do limite quando x se aproxima de um ponto de descontinuidade removível. Dê um exemplo.
Calcule d y / d x
y = 8x - 3
Resolva os itens abaixo.
ii) Use o Teste da Razão para determinar se a série converge: sumk=1^infty k^26^k.