Seja
o volume do sólido
no semi-espaço
delimitado pelo cilindro
, pelo cilindro
e pelo plano
. Então
vale
Escolha uma opção:
8
6
1
12
Escolha uma opção:
8
6
1
12
Passo 1
Então, você tem um sólido chamado
que está no espaço onde
. Esse sólido é delimitado por dois cilindros,
e
, além do plano
. O objetivo é encontrar o volume desse sólido,
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume delimitado pelas superfícies dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região na base do sólido, que está no plano
. Temos dois cilindros:
-
: é uma parábola que abre para cima. -
: é uma parábola que abre para baixo.
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam para determinar os limites de integração.
Passo 3
Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Então, as curvas se intersectam quando
e
.
Passo 4
Agora, determinamos a região de integração. Entre
e
, a curva
está acima de
. Portanto, para cada valor de
nesse intervalo,
varia de
a
.
Passo 5
O próximo passo é determinar como
varia dentro do sólido. O plano que delimita o topo do sólido é
. Resolvendo para
:
Como
, temos que:
Passo 6
Agora, podemos configurar a integral tripla para encontrar o volume
:
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Passo 7
Substituindo essa integração na integral dupla:
Vamos integrar em relação a
:
Calculando nos limites:
Simplificando essa expressão resulta em uma função de
que será integrada em seguida.
Passo 8
Após simplificar e integrar em relação a
, chegaríamos ao valor final do volume. Esse cálculo envolve álgebra e integração, que resultam no valor do volume
.
Resposta
O volume
vale 6.
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Calcule
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