Resolva os itens abaixo.
i) Use o Teste de Comparação no Limite para verificar se a série converge: sumk=1^infty k+1k^3-k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se a série sumk=1^infty k+1k^3-k converge usando o Teste de Comparação no Limite. Isso envolve comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona esse teste e escolher uma série comparativa adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste de Comparação no Limite. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando o limite do quociente entre os termos das duas séries. Se esse limite for um número positivo e finito, as duas séries vão se comportar da mesma maneira: se uma converge, a outra também converge; se uma diverge, a outra também diverge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa série: k+1k^3-k. Para facilitar a comparação, precisamos simplificar essa expressão. Para grandes valores de k, os termos de maior grau determinam o comportamento da função. Então, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por k^3:
k+1k^3-k = kk^3 + 1k^31 - 1k^2 = 1k^2 + 1k^31 - 1k^2 approx 1k^2 para grandes k
Isso sugere que podemos comparar nossa série com sum 1k^2.

Passo 4

Sabemos que a série sumk=1^infty 1k^2 é uma série p, onde p=2. Sequências séries p convergem quando p > 1. Portanto, nossa série comparativa converge.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste de Comparação no Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limk to infty k+1k^3 - k1k^2 = limk to infty (k+1) cdot k^2k^3 - k = limk to infty k^3 + k^2k^3 - k

Passo 6

Para calcular esse limite, dividimos o numerador e o denominador por k^3:
limk to infty 1 + 1k1 - 1k^2 = 1 + 01 - 0 = 1

Passo 7

Como o limite é 1, que é um número positivo e finito, pelo Teste de Comparação no Limite, nossa série original sumk=1^infty k+1k^3-k converge porque a série comparativa sum 1k^2 também converge.

Resposta

A série sumk=1^infty k+1k^3-k converge pelo Teste de Comparação no Limite.

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