Resolva os itens abaixo.
i) Use o Teste de Comparação no Limite para verificar se a série converge:
.
i) Use o Teste de Comparação no Limite para verificar se a série converge:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se a série
converge usando o Teste de Comparação no Limite. Isso envolve comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona esse teste e escolher uma série comparativa adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste de Comparação no Limite. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando o limite do quociente entre os termos das duas séries. Se esse limite for um número positivo e finito, as duas séries vão se comportar da mesma maneira: se uma converge, a outra também converge; se uma diverge, a outra também diverge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa série:
. Para facilitar a comparação, precisamos simplificar essa expressão. Para grandes valores de
, os termos de maior grau determinam o comportamento da função. Então, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Isso sugere que podemos comparar nossa série com
.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série p, onde
. Sequências séries p convergem quando
. Portanto, nossa série comparativa converge.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste de Comparação no Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Passo 6
Para calcular esse limite, dividimos o numerador e o denominador por
:
Passo 7
Como o limite é
, que é um número positivo e finito, pelo Teste de Comparação no Limite, nossa série original
converge porque a série comparativa
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação no Limite.
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se aproxima de um ponto de descontinuidade removível. Dê um exemplo.
Discuta a diferença entre limites laterais e o limite no ponto em questão. Dê exemplos que ilustrem essa diferença.
Seja
o volume do sólido
no semi-espaço
delimitado pelo cilindro
, pelo cilindro
e pelo plano
. Então
vale
Escolha uma opção:
8
6
1
12
Escolha uma opção:
8
6
1
12
Calcule