Discuta a variação do parâmetro p de modo que seja convergente a integral imprópria:
c) integral1^2 1x(ln x)^p d x

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa analisar quando a integral imprópria converge. Isso está ligado ao assunto de integrais impróprias, onde a gente verifica se a integral dá um valor finito ou não. Para resolver, vamos identificar onde a integral pode ser problemática e usar técnicas de cálculo para ver para quais valores de a integral funciona direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a integral pode ter problemas. Olhando para os limites de integração, vemos que vai de 1 a 2. A função é zero quando , então o denominador também será zero, o que pode causar uma divisão por zero e tornar a integral imprópria nesse ponto. Então, o foco vai ser analisar o comportamento da função perto de .

Passo 3

Para entender como a função se comporta perto de integral1^2 1x(ln x)^p , dx = integral0^ln 2 1e^t cdot t^p cdot e^t , dt = integral0^ln 2 1t^p , dt , vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja integral0^ln 2 t^-p , dt , então e . Vamos mudar os limites da integral:
  • Quando , .
  • Quando , .
Substituindo na integral, temos:
Simplificando, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar a integral . Essa é uma integral do tipo , onde . Sabemos que essa integral converge se e somente se , ou seja, se , o que significa que .
Se , a integral se transforma em , que é uma integral do tipo e diverge porque não está definido (vai para menos infinito).
Se , a situação é ainda pior, pois a função cresce mais rápido à medida que se aproxima de 0, o que faz com que a integral também diverja.

Resposta

A integral converge se e somente se .

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