Discuta a variação do parâmetro
de modo que seja convergente a integral imprópria:
c)
c)
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa analisar quando a integral imprópria
converge. Isso está ligado ao assunto de integrais impróprias, onde a gente verifica se a integral dá um valor finito ou não. Para resolver, vamos identificar onde a integral pode ser problemática e usar técnicas de cálculo para ver para quais valores de
a integral funciona direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a integral pode ter problemas. Olhando para os limites de integração, vemos que
vai de 1 a 2. A função
é zero quando
, então o denominador
também será zero, o que pode causar uma divisão por zero e tornar a integral imprópria nesse ponto. Então, o foco vai ser analisar o comportamento da função perto de
.
Passo 3
Para entender como a função se comporta perto de
, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja
, então
e
. Vamos mudar os limites da integral:
- Quando
, . - Quando
, .
Substituindo na integral, temos:
Simplificando, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar a integral
. Essa é uma integral do tipo
, onde
. Sabemos que essa integral converge se e somente se
, ou seja, se
, o que significa que
.
Se
, a integral se transforma em
, que é uma integral do tipo
e diverge porque
não está definido (vai para menos infinito).
Se
, a situação é ainda pior, pois a função
cresce mais rápido à medida que
se aproxima de 0, o que faz com que a integral também diverja.
Resposta
A integral
converge se e somente se
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais:
m)
m)
Resolva as seguintes integrais:
c)
c)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
m)
m)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
p)
p)