Resolva as seguintes integrais:
m) integral0^+infty e^-2 t cos 3 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais impróprias usando funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar expressões que combinam exponenciais com funções trigonométricas, usando uma fórmula específica para esse tipo de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrais do tipo integral0^+infty e^-a t cos b t , dt = aa^2 + b^2 , onde , a solução é dada por:
Essa fórmula é útil porque transforma a integração de uma função exponencial multiplicada por uma função cosseno em uma expressão mais simples.

Passo 3

No nosso caso, a integral é . Comparando com a fórmula geral:
Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar o resultado.

Passo 4

Substituindo integral0^+infty e^-2 t cos 3 t , dt = 22^2 + 3^2 e na fórmula, temos:
Vamos calcular o denominador agora.

Passo 5

Calculando 2^2 = 4 e 3^2 = 9 :
2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13
Então:

Passo 6

Agora, substituindo de volta:
integral0^+infty e^-2 t cos 3 t , dt = 213

Resposta

O valor da integral é .

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