Verifique a convergência das seguintes integrais:
m)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a integral converge ou não. Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo integral, especialmente na parte de integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração vão até o infinito ou a função tem algum ponto problemático no intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência de integrais e aplicar o que for adequado nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria pode convergir se existir um valor finito para ela quando consideramos os limites até o infinito. No nosso caso, a função oscila entre valores positivos e negativos conforme aumenta, e o denominador cresce sem limites.
Um bom método para testar a convergência dessa integral é o Teste de Dirichlet. Esse teste é útil quando temos uma função que oscila (como o seno) multiplicada por uma função que decresce monotonamente para zero.

Passo 3

Para aplicar o Teste de Dirichlet, precisamos verificar dois pontos:
  1. A função é uma função oscilante: Ela varia entre -1 e 1 e não tem um limite definido quando vai para o infinito.
  2. A função é monótona decrescente e tende a zero: Conforme aumenta, diminui continuamente e se aproxima de zero.
Como ambas as condições do Teste de Dirichlet são satisfeitas, podemos concluir que a integral converge.

Passo 4

Além de verificar a convergência, é interessante saber qual é o valor dessa integral. No caso dessa função, a integral é conhecida e seu resultado é . Esse é um resultado clássico em cálculo e é frequentemente utilizado em várias áreas da matemática e da física.

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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Discuta a variação do parâmetro de modo que seja convergente a integral imprópria:
c)
Resolva as seguintes integrais:
m)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
p)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
y)