Discuta a variação do parâmetro
de modo que seja convergente a integral imprópria:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral imprópria
. O objetivo é descobrir para quais valores de
essa integral converge. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral para verificar a convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição básica. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
Agora a integral está em termos de
, o que simplifica bastante a análise.
Passo 4
A gente precisa verificar quando
converge. Sabemos que a integral
converge se e somente se
. Isso porque, para
, a integral se transforma em
, que diverge quando
tende ao infinito.
Passo 5
Portanto, aplicando esse conhecimento ao nosso caso, a integral original
converge se e somente se
.
Resposta
A integral imprópria
é convergente para todos os valores de
maiores que 1.