Discuta a variação do parâmetro p de modo que seja convergente a integral imprópria:
integral2^infty 1x(ln x)^p d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral imprópria . O objetivo é descobrir para quais valores de essa integral converge. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral para verificar a convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição básica. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral2^infty 1x(ln x)^p , dx = integralln 2^infty 1u^p , du
Agora a integral está em termos de , o que simplifica bastante a análise.

Passo 4

A gente precisa verificar quando converge. Sabemos que a integral converge se e somente se . Isso porque, para , a integral se transforma em , que diverge quando tende ao infinito.

Passo 5

Portanto, aplicando esse conhecimento ao nosso caso, a integral original converge se e somente se .

Resposta

A integral imprópria é convergente para todos os valores de maiores que 1.

Exercícios relacionados