Nas equações abaixo, determine a solução geral e o comportamento de y quando t -> infinito. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0, descreva essa dependência.
y' = 3 + 2y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Basicamente, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem aqui. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar soluções para equações lineares desse tipo. Além disso, vamos analisar o comportamento da solução quando o tempo t vai para o infinito e ver como isso depende do valor inicial de y em .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ver melhor como ela se encaixa no modelo padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, a gente tem uma equação na forma , onde e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
A gente consegue escrever o lado esquerdo como a derivada de , o que facilita a integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
A integral da esquerda simplesmente nos dá , e a da direita fica:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver para y isolando-o:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o termo :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante C:
Então, isolando C:

Passo 8

Substituindo C de volta na solução geral:

Passo 9

Agora, vamos analisar o comportamento de y(t) quando t -> infinito:
  • Se : O termo cresce exponencialmente para +infinito, então .
  • Se : O termo é negativo, mas cresce para +infinito, fazendo com que y(t) tenda para .
  • Se : O termo é zero, então para todo t.

Resposta

A solução geral da equação é
Quando t -> infinito, o comportamento de y(t) depende do valor inicial :
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então para todo t.

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