Nas equações abaixo, determine a solução geral e o comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
, descreva essa dependência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Basicamente, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem aqui. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar soluções para equações lineares desse tipo. Além disso, vamos analisar o comportamento da solução quando o tempo
vai para o infinito e ver como isso depende do valor inicial de
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ver melhor como ela se encaixa no modelo padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, a gente tem uma equação na forma
, onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
A gente consegue escrever o lado esquerdo como a derivada de
, o que facilita a integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral da esquerda simplesmente nos dá
, e a da direita fica:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
isolando-o:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o termo
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Então, isolando
:
Passo 8
Substituindo
de volta na solução geral:
Passo 9
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
:
-
Se
: O termo cresce exponencialmente para , então . -
Se
: O termo é negativo, mas cresce para , fazendo com que tenda para . -
Se
: O termo é zero, então para todo .
Resposta
A solução geral da equação é
Quando
, o comportamento de
depende do valor inicial
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então para todo .