Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
y''' + 4y'' + 3y = t ; y1(t) = t / 3, y2(t) = e^(-t) + t / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo . A missão é verificar se as funções e são soluções dessa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na equação para ver se tudo confere.

Passo 2

Primeiro, vamos checar a função . Vamos calcular suas derivadas:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Passo 3

Agora, vamos substituir e suas derivadas na equação diferencial:
Viu só? O lado esquerdo da equação ficou igual a , que é exatamente o lado direito da nossa equação diferencial. Então, é realmente uma solução.

Passo 4

Agora, vamos verificar a função . Vamos calcular as derivadas:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Passo 5

Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Vamos simplificar:
Mas o lado direito da equação diferencial é apenas . Para que seja solução, o termo com deve desaparecer, ou seja, precisamos ter , o que só acontece se . Porém, nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, há um erro nessa verificação.

Resposta

Apenas a função é uma solução da equação diferencial . A função não satisfaz a equação.

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