Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
y^prime-2 y=1 ; y=e^2 t integral0^t e^-s^2 d s+e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por y(t) = e^2t integral0^t e^-s^2 , ds + e^2t e uma função proposta:
Nosso objetivo aqui é verificar se essa função realmente resolve a equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de e substituir na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de ddt ( e^2t integral0^t e^-s^2 , ds ) = e^2t cdot ddt ( integral0^t e^-s^2 , ds ) + ddt ( e^2t ) cdot integral0^t e^-s^2 , ds . A função ddt ( integral0^t e^-s^2 , ds ) = e^-t^2 é composta por duas partes:
  1. ddt ( e^2t ) = 2e^2t
  2. e^2t cdot e^-t^2 + 2e^2t integral0^t e^-s^2 , ds
Vamos derivar cada parte separadamente.
Para a primeira parte, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
ddt ( e^2t ) = 2e^2t
Sabemos que a derivada de uma integral com limite variável é simplesmente a função dentro da integral avaliada no limite:
y'(t) = e^2t e^-t^2 + 2e^2t integral0^t e^-s^2 , ds + 2e^2t
E a derivada de é:
Portanto, a derivada da primeira parte fica:
Para a segunda parte , a derivada é:
Então, juntando tudo, a derivada completa de é:

Passo 3

Agora, vamos substituir y' - 2y &= ( e^2t e^-t^2 + 2e^2t integral0^t e^-s^2 , ds + 2e^2t ) - 2 ( e^2t integral0^t e^-s^2 , ds + e^2t ) &= e^2t e^-t^2 + 2e^2t integral0^t e^-s^2 , ds + 2e^2t - 2e^2t integral0^t e^-s^2 , ds - 2e^2t &= e^2t e^-t^2 e e^2t e^-t^2 = e^2t - t^2 na equação diferencial :
Primeiro, calculamos :
Observamos que os termos e se cancelam com os termos subtraídos. Assim, restou apenas .
Simplificando :
Para que seja uma solução da equação diferencial, precisamos que . Mas observamos que não é igual a 1 para todo .

Resposta

A função não é uma solução da equação diferencial .

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