Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por
e uma função proposta:
Nosso objetivo aqui é verificar se essa função
realmente resolve a equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de
e substituir na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função
é composta por duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente.
Para a primeira parte, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de uma integral com limite variável é simplesmente a função dentro da integral avaliada no limite:
E a derivada de
é:
Portanto, a derivada da primeira parte fica:
Para a segunda parte
, a derivada é:
Então, juntando tudo, a derivada completa de
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Primeiro, calculamos
:
Observamos que os termos
e
se cancelam com os termos subtraídos. Assim, restou apenas
.
Simplificando
:
Para que
seja uma solução da equação diferencial, precisamos que
. Mas observamos que
não é igual a 1 para todo
.
Resposta
A função
não é uma solução da equação diferencial
.