Nas equações abaixo, determine a solução geral e o comportamento de y quando t -> infinito. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0, descreva essa dependência.
y' = y + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem, que ajudam a entender como uma função muda em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de solução de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação de uma forma que seja mais fácil de resolver. A equação é . Podemos rearranjar para:
Isso está na forma padrão de uma equação diferencial linear: , onde e .

Passo 3

A próxima etapa é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral é . Quando , se , o termo domina e cresce para ou dependendo do sinal de . Se , então para todo . Portanto, o comportamento de quando tende ao infinito depende do valor inicial em .

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