Nas equações abaixo, determine a solução geral e o comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
, descreva essa dependência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem, que ajudam a entender como uma função
muda em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de solução de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação de uma forma que seja mais fácil de resolver. A equação é
. Podemos rearranjar para:
Isso está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
, onde
e
.
Passo 3
A próxima etapa é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral é
. Quando
, se
, o termo
domina e
cresce para
ou
dependendo do sinal de
. Se
, então
para todo
. Portanto, o comportamento de
quando
tende ao infinito depende do valor inicial
em
.