Discuta a veracidade das seguintes afirmações. Considere, em todos os casos, amostragem aleatória simples.
c) Com um nível de confiança fixo, para diminuir o comprimento do intervalo pela metade é usualmente suficiente duplicar o tamanho da amostra.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está falando. A gente está lidando com intervalos de confiança em amostragem aleatória simples. O enunciado diz que, com um nível de confiança fixo, para diminuir o comprimento do intervalo pela metade, seria suficiente duplicar o tamanho da amostra. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o comprimento do intervalo de confiança. A fórmula básica para o intervalo de confiança de uma média é:
Aqui, é a média da amostra, é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança, é o desvio padrão da população e é o tamanho da amostra. O comprimento do intervalo é:

Passo 3

Agora, queremos diminuir esse comprimento pela metade. Vamos chamar o comprimento original de e o novo comprimento de :
Onde é o novo tamanho da amostra que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos igualar os comprimentos:
Simplificando:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por :
Elevando ao quadrado para resolver para :

Resposta

A afirmação é falsa. Para reduzir o comprimento do intervalo pela metade com nível de confiança fixo, é necessário quadruplicar o tamanho da amostra, e não apenas duplicar.

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