Discuta a veracidade das seguintes afirmações. Considere, em todos os casos, amostragem aleatória simples.
c) Com um nível de confiança fixo, para diminuir o comprimento do intervalo pela metade é usualmente suficiente duplicar o tamanho da amostra.
c) Com um nível de confiança fixo, para diminuir o comprimento do intervalo pela metade é usualmente suficiente duplicar o tamanho da amostra.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está falando. A gente está lidando com intervalos de confiança em amostragem aleatória simples. O enunciado diz que, com um nível de confiança fixo, para diminuir o comprimento do intervalo pela metade, seria suficiente duplicar o tamanho da amostra. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o comprimento do intervalo de confiança. A fórmula básica para o intervalo de confiança de uma média é:
Aqui,
é a média da amostra,
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança,
é o desvio padrão da população e
é o tamanho da amostra. O comprimento do intervalo é:
Passo 3
Agora, queremos diminuir esse comprimento pela metade. Vamos chamar o comprimento original de
e o novo comprimento de
:
Onde
é o novo tamanho da amostra que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos igualar os comprimentos:
Simplificando:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado para resolver para
:
Resposta
A afirmação é falsa. Para reduzir o comprimento do intervalo pela metade com nível de confiança fixo, é necessário quadruplicar o tamanho da amostra, e não apenas duplicar.