Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.5 m x+(1-m) y+(1-m) z & =m^2 m x+(1+m) y+(1+m) z & =m-m^2 x+y+z & =1-m

Passo 1

Vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com um parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer e a análise do determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes e o determinante desse sistema. A matriz dos coeficientes é:
A = m & 1 - m & 1 - m m & 1 + m & 1 + m 1 & 1 & 1
O determinante dessa matriz é crucial para saber se o sistema tem solução única ou não. Vamos calculá-lo.

Passo 3

Calculando o determinante De de De:
De
Podemos simplificar o cálculo subtraindo a primeira coluna da segunda e terceira:
1 & 1 0 & 0 = 0
Agora, expandindo o determinante:
m & 1 1 & 0 = -1
Calculando os menores:
De
Então:

Passo 4

O determinante para todo valor de . Isso significa que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo das constantes.
Vamos verificar as condiçõese a consistência do sistema usando o método de escalonamento ou verificar a igualdade entre as equações.

Passo 5

Observando as duas primeiras equações:
m x + (1 - m) y + (1 - m) z = m^2 (1)
m x + (1 + m) y + (1 + m) z = m - m^2 (2)
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
[(1 + m) - (1 - m)] y + [(1 + m) - (1 - m)] z = (m - m^2) - m^2
2m y + 2m z = m - 2m^2
2m (y + z) = m(1 - 2m)
Se y + z = 1 - 2m2 , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Agora, usando a terceira equação:
x + y + z = 1 - m (3)
Substituindo x + 1 - 2m2 = 1 - m da etapa anterior:
x = 1 - m - 1 - 2m2 = 2(1 - m) - (1 - 2m)2 = 2 - 2m -1 + 2m2 = 12

Passo 7

Então, temos m cdot 12 + (1 - m)y + (1 - m)z = m^2 e m2 + (1 - m)(y + z) = m^2 . No entanto, precisamos de mais uma equação para determinar m2 + (1 - m)cdot 1 - 2m2 = m^2 e m2 + (1 - m)(1 - 2m)2 = m^2 .
Voltando à equação (1):
m + (1 - m)(1 - 2m)2 = m^2
m + 1 - 2m - m + 2m^2 = 2m^2
1 - 2m = 0
m = 12

Passo 8

Então, para y + z = 1 - 2 cdot 122 = 1 - 12 = 0 e x = 12 , o sistema tem solução única: , .
Para , observamos que as equações podem se tornar dependentes, levando a infinitas soluções ou inconsistência. Vamos verificar:
Substituindo na equação:
E verificando com as outras equações, vemos que tudo se encaixa, indicando infinitas soluções.

Resposta

O sistema possui uma solução única para todo diferente de e , sendo e . Para , o sistema possui infinitas soluções. Além disso, para , o sistema pode não ter solução ou também ter infinitas soluções, dependendo das equações específicas.

Exercícios relacionados

Identifique as cônicas:
(a) 3 x^2-8 x y-12 y^2+81=0;
(b) 2 x^2-4 x y-y^2=-24;
Encontre as coordenadas do ponto P com relação ao sistema de coordenadas S, nos seguintes casos:
(a) S=O,(1raiz2,-1raiz2),(1raiz2, 1raiz2) e P=(1,3).
(b) S=O,(1raiz2,-1raiz2, 0),(0,0,1),(1raiz2, 1raiz2, 0) e P=(2,-1,2).
Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.4
rlrx+0 y+ & 2 z & =4 2 x+m y+ & 4 z & =8-m x+m y+(-m^2+3 m+2) z & =4-2 m
Seja A uma matriz simétrica. Sabendo-se que
V1=(0,2,-2,1) e V2=(2,1,-2,3)
são autovetores associados a lambda1=2 e
V3=(-2,0,1,2) e V4=(-3,-2,-1,2)
são autovetores associados a lambda2=4 determine
(a) um conjunto de vetores ortogonais
W1, W2, W3, W4
a partir do conjunto de vetores V1, V2, V3, V4.
(b) um conjunto de vetores ortonormais
U1, U2, U3, U4
a partir do conjunto W1, W2, W3, W4 e determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que A=P D P^t.