Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com um parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer e a análise do determinante da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes e o determinante desse sistema. A matriz dos coeficientes é:
A = m & 1 - m & 1 - m m & 1 + m & 1 + m 1 & 1 & 1
O determinante dessa matriz é crucial para saber se o sistema tem solução única ou não. Vamos calculá-lo.
Passo 3
Calculando o determinante De de De:
De
Podemos simplificar o cálculo subtraindo a primeira coluna da segunda e terceira:
1 & 1 0 & 0 = 0
Agora, expandindo o determinante:
m & 1 1 & 0 = -1
Calculando os menores:
De
Então:
Passo 4
O determinante para todo valor de . Isso significa que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo das constantes.
Vamos verificar as condiçõese a consistência do sistema usando o método de escalonamento ou verificar a igualdade entre as equações.
Passo 5
Observando as duas primeiras equações:
m x + (1 - m) y + (1 - m) z = m^2 (1)
m x + (1 + m) y + (1 + m) z = m - m^2 (2)
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
[(1 + m) - (1 - m)] y + [(1 + m) - (1 - m)] z = (m - m^2) - m^2
2m y + 2m z = m - 2m^2
2m (y + z) = m(1 - 2m)
Se y + z = 1 - 2m2 , podemos dividir ambos os lados por :
Passo 6
Agora, usando a terceira equação:
x + y + z = 1 - m (3)
Substituindo x + 1 - 2m2 = 1 - m da etapa anterior:
x = 1 - m - 1 - 2m2 = 2(1 - m) - (1 - 2m)2 = 2 - 2m -1 + 2m2 = 12
Passo 7
Então, temos m cdot 12 + (1 - m)y + (1 - m)z = m^2 e m2 + (1 - m)(y + z) = m^2 . No entanto, precisamos de mais uma equação para determinar m2 + (1 - m)cdot 1 - 2m2 = m^2 e m2 + (1 - m)(1 - 2m)2 = m^2 .
Voltando à equação (1):
m + (1 - m)(1 - 2m)2 = m^2
m + 1 - 2m - m + 2m^2 = 2m^2
1 - 2m = 0
m = 12
Passo 8
Então, para y + z = 1 - 2 cdot 122 = 1 - 12 = 0 e x = 12 , o sistema tem solução única: , .
Para , observamos que as equações podem se tornar dependentes, levando a infinitas soluções ou inconsistência. Vamos verificar:
Substituindo na equação:
E verificando com as outras equações, vemos que tudo se encaixa, indicando infinitas soluções.
Resposta
O sistema possui uma solução única para todo diferente de e , sendo e . Para , o sistema possui infinitas soluções. Além disso, para , o sistema pode não ter solução ou também ter infinitas soluções, dependendo das equações específicas.