Identifique as cônicas:
(a) 3 x^2-8 x y-12 y^2+81=0;
(b) 2 x^2-4 x y-y^2=-24;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar que tipo de cônicas estão representadas pelas equações dadas. Vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Para isso, vamos precisar analisar os coeficientes das variáveis nas equações e usar o discriminante das cônicas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
3x^2 - 8xy -12 y^2 +81=0
Primeiro, identificamos os coeficientes:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante De das cônicas, que é dado por:
De
Substituindo os valores:

Passo 4

Com o valor de , podemos identificar a cônica:
  • Se e com , é um círculo.
  • Se , é uma elipse.
  • Se , é uma parábola.
  • Se , é uma hipérbole.
Como , a primeira equação representa uma hipérbole.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação:
2x^2 -4x y - y^2=-24
Primeiro, vamos reescrever para o padrão geral:
2x^2 -4x y - y^2 +24=0
Identificamos os coeficientes:

Passo 6

Calculamos o discriminante novamente:
De

Passo 7

Analisando o :
Como , essa equação também representa uma hipérbole.

Resposta

(a) A equação representa uma hipérbole.
(b) A equação também representa uma hipérbole.

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