Encontre as coordenadas do ponto P com relação ao sistema de coordenadas S, nos seguintes casos:
(a) S=O,(1raiz2,-1raiz2),(1raiz2, 1raiz2) e P=(1,3).
(b) S=O,(1raiz2,-1raiz2, 0),(0,0,1),(1raiz2, 1raiz2, 0) e P=(2,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar as coordenadas do ponto em relação ao sistema de coordenadas . No item (a), estamos trabalhando com um sistema de coordenadas no plano (2D). Para isso, vamos precisar entender como expressar um ponto em um novo sistema de coordenadas com base nos vetores que definem esse sistema.

Passo 2

Primeiro, identificamos os vetores que definem o sistema . No caso (a), temos:
  • Origem
  • Primeiro vetor base
  • Segundo vetor base

Passo 3

Queremos expressar o ponto P = a u1 + b u2 como uma combinação linear desses vetores base:
Isso significa que precisamos encontrar os coeficientes e que satisfazem essa equação.

Passo 4

Vamos escrever as coordenadas de (1, 3) = a ( 1raiz2, -1raiz2 ) + b ( 1raiz2, 1raiz2 ) em termos de araiz2 + braiz2 = 1 -araiz2 + braiz2 = 3 e :
Isso se traduz em duas equações:

Passo 5

Podemos simplificar as equações multiplicando ambos os lados por a + b = raiz2 -a + b = 3raiz2 :

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações. Somando as duas equações:
(a + b) + (-a + b) = raiz2 + 3raiz2 2b = 4raiz2 b = 2raiz2

Passo 7

Substituindo o valor de a + 2raiz2 = raiz2 a = raiz2 - 2raiz2 a = -raiz2 na primeira equação:

Resposta

As coordenadas do ponto em relação ao sistema são .

Exercícios relacionados

Discutir os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.3 x+y+m z & =0 x+m y+z & =0 m x+y+z & =0
Discutir os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.2 x+y-z & =1 3 x+y-z & =1 x-2 y+2 z & =m
Identifique as cônicas:
(a) 3 x^2-8 x y-12 y^2+81=0;
(b) 2 x^2-4 x y-y^2=-24;
Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.5 m x+(1-m) y+(1-m) z & =m^2 m x+(1+m) y+(1+m) z & =m-m^2 x+y+z & =1-m