Obter a equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado: x=y, z=0; eixo O y.

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria espacial que pede para encontrar a equação da superfície gerada quando a curva no plano gira em torno do eixo (o eixo Y). Vamos usar conceitos de rotação de curvas no espaço para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva que vamos girar. A equação no plano representa uma reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45 graus com os eixos X e Y. Como o z é sempre zero, essa reta está completamente no plano XY.

Passo 3

Agora, queremos girar essa reta em torno do eixo . Quando a gente gira uma curva em torno de um eixo, cria uma superfície. Para encontrar a equação dessa superfície, vamos pensar nas coordenadas de qualquer ponto nessa superfície.

Passo 4

Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde qualquer ponto no espaço é representado por , onde é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo de rotação em torno do eixo , e é a mesma coordenada Y.

Passo 5

A curva original tem , então qualquer ponto na curva pode ser escrito como . Quando giramos esse ponto em torno do eixo , o valor de permanece o mesmo, mas e mudam de acordo com o ângulo .

Passo 6

Para qualquer ângulo x' = r cos(theta) , as novas coordenadas z' = r sin(theta) e do ponto girado são dadas por:
onde (já que na curva original).

Passo 7

Substituindo x' = y cos(theta) nas equações, temos:
z' = y sin(theta)
Essas equações descrevem todos os pontos na superfície gerada pela rotação da reta em torno do eixo .

Passo 8

Para eliminar o parâmetro x'^2 + z'^2 = (y cos(theta))^2 + (y sin(theta))^2 = y^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = y^2 e obter uma equação em termos de x^2 + z^2 = y^2 , e , observamos que:
Portanto, a relação entre , e na superfície é:

Resposta

A equação da superfície gerada é .

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