Obter a equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado:
; eixo
.
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria espacial que pede para encontrar a equação da superfície gerada quando a curva
no plano
gira em torno do eixo
(o eixo Y). Vamos usar conceitos de rotação de curvas no espaço para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva que vamos girar. A equação
no plano
representa uma reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45 graus com os eixos X e Y. Como o z é sempre zero, essa reta está completamente no plano XY.
Passo 3
Agora, queremos girar essa reta em torno do eixo
. Quando a gente gira uma curva em torno de um eixo, cria uma superfície. Para encontrar a equação dessa superfície, vamos pensar nas coordenadas de qualquer ponto nessa superfície.
Passo 4
Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde qualquer ponto no espaço é representado por
, onde
é a distância do ponto ao eixo
,
é o ângulo de rotação em torno do eixo
, e
é a mesma coordenada Y.
Passo 5
A curva original
tem
, então qualquer ponto na curva pode ser escrito como
. Quando giramos esse ponto em torno do eixo
, o valor de
permanece o mesmo, mas
e
mudam de acordo com o ângulo
.
Passo 6
Para qualquer ângulo
, as novas coordenadas
e
do ponto girado são dadas por:
onde
(já que
na curva original).
Passo 7
Substituindo
nas equações, temos:
Essas equações descrevem todos os pontos na superfície gerada pela rotação da reta
em torno do eixo
.
Passo 8
Para eliminar o parâmetro
e obter uma equação em termos de
,
e
, observamos que:
Portanto, a relação entre
,
e
na superfície é:
Resposta
A equação da superfície gerada é
.