Discutir os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas (x, y, z). Além disso, há um parâmetro m na terceira equação. A ideia aqui é descobrir para quais valores de m o sistema tem soluções e que tipo de soluções são essas (única, infinitas ou nenhuma). Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como o método de eliminação de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x + y - z = 1 (1) 3x + y - z = 1 (2) x - 2y + 2z = m (3)
Nosso objetivo é resolver esse sistema para x, y e z em termos de m e ver para quais valores de m o sistema é consistente.
Passo 3
Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar o sistema. Observando as equações (1) e (2), podemos eliminar z subtraindo a equação (1) da equação (2):
(3x + y - z) - (x + y - z) = 1 - 1 3x + y - z - x - y + z = 0 2x = 0 x = 0
Então, descobrimos que x = 0.
Passo 4
Com x = 0, vamos substituir esse valor na equaç��o (1) para encontrar uma relação entre y e z:
0 + y - z = 1 y - z = 1 (4)
Agora, temos uma equação que relaciona y e z.
Passo 5
Agora, vamos substituir x = 0 na equação (3):
0 - 2y + 2z = m -2y + 2z = m
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
- y + z = m2 (5)
Então, temos duas equações agora:
y - z = 1 (4) - y + z = m2 (5)
Passo 6
Vamos somar as equações (4) e (5) para eliminar y:
Isso nos mostra que para m = -2, o sistema tem soluções. Vamos verificar o que acontece para outros valores de m.
Passo 7
Se m neq -2, a equação resultante seria uma contradição, já que teríamos 0 = 1 + m2, que não é verdadeira. Portanto, o sistema só tem solução quando m = -2.
Resposta
O sistema de equações lineares tem uma solução única quando m = -2. Para outros valores de m, o sistema não possui solução.